Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

INTRODUCTION ALGEBRIQUE.

5

nombre de lignes de la deuxieme: p - m'n. L'extensionde la lregle
est alors immediate, on obtient un.e matrice du type (n,p'). La
multiplication ainsi definie est encore associative; on le verifie
aisement, c'est sa seule propriete utilisee, en general.
Cette definition du produit permet, par exemple, de representer
la substitution (i) par' l'galite
11 1 2 **.. 11 = [1 X1 X2... x,l 1 X A.
A designe le tableau (2) associe a la substitution. Nous ecrirons
Jes matrices et les tableaux, encadrees de deux doubles barres
verticales, pour les distinguer des determinants qui sont des
nombres.
Ensembles abeliens de tableaux.
On peut se proposer de Former des ensembles de tableaux ou la
multiplication soit coinmmutative. La recherche de tous ces
ensembles, que nous appellerons, pour abreger, abeliens (1), est
un probleme complique; je me contenterai d'indiquer ici une
categorie tres etendue de tels ensembles. Une premiere solution
nous serait donnee par l'ensemble des sysltemes simples; une
autre, plus generale, par les tableaux ou tous les termes, sauf ceux
de la diagonale principale, sont nuls, mais les termes non nuls
n'ltant plus necessairement egaux. Par exemple,
2i 0... 0
o l... o.
[ai, 2a,..., /,,] = x
0 o... a~,
La notation ado)ptee est 6vidente; nous dirons qu'un tel tableau
est elednentaire ou canonique. Les regles de calcul sont aussi
manifestes:
[1a, 2..., C/1] 1 [i3, pf2,. l + I 3 + p2..., + 1,3 2 pJ,
[al,, a... X, 2,,n, [, 3. = [ alP1, a2,,.*. anI1n ],
[ ri a2,...,,-1 = [ J _" n _,, _].
h([:oal, a2.. ])= 2 2..
A([aX 1,2, * a/,]) al. 1...a,.

(1) Suivant une locution habituelle en th6orie des groupes.