Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CIIAPITRE I.

tableau verifiant les equations
X x A = A ou Ax X = A [A(A) o].
Pour cette raison, nous appellerons tableau inverse de A le
tableau A-' defini par l'une des egalites
A x A- = [i] ou A-' x A = [I].
A cet inverse est associee la substitution inverse de celle associee a A (qui fait passer des nouvelles variables aux anciennes); il
est done unique (') et verifie les deux egalites. On l'obtiendra,
par exemple, en resolvant les equations (I) par rapport aux x et
en prenant les coefficients des formes en [ ainsi obtenues. On pent
encore dire que ses termes sont ceux du determinant adjoint
de A(A), divises par le nombre A(A), et apres permutation de
lignes et colonnes. Le determinant de [I] etant i, celui de A-'
est (A); 'inverse du systeme simple [m] est -. Enfin, l'inverse
d'un produit s'obtient par la regle simple
(A x B x... x K x L)- = L-Ix K-'x...x B-x A-i;
puisque l'inverse est unique, ii suffit de faire la verification, ce
qui est immediat.
Donnons, en terrminant, quelques notions sur les matrices.
Nous appellerons ainsi un tableau rectangulaire ou carre de
nombres, d'oil I'on pent deduire, par suppression de lignes et de
colonnes, des tableaux carrcs. On pourra distinguer dans une
matrice: le type (im, p), in lignes et p colonnes; le rang r, ordre
du tableau d'ordre le plus eleve (a determinant non nul) qu'on
peut en dedtlire. Le lang est au plus egal an plus p)etit des deux
nonibres in, p. Pour qu'on p)uisse etendre a deux matrices la definition de la somme, il faut el, il suffit qu'elles soient de meme
type. Pour etendre la definition du produiit, il stufft qute le nombre
de colonines de la premiere (matrice de gauche) soit egal au
(1) On pourrait encore demontrer cette unicite et l'equivalence des ceux equations de definition, soit en se servant des itz equations lindaires par rapport aux
ternnes de A-' qui traduisent cette definition, soit en utilisant l'unicite de la
solution de AX =A et de XA= A, et les propridtds du produit. Cette derni6re
meihode aurait un inter{et au point de vue du calcul symbolique en gdneral.