Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

INTRODUCTION ALGEBRIQUE.

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Cette operation (') est evidemment associative
A x (B x C) = (Ax B) x C;
elle est aussi distributive par rapport a l'addition
A x (B +- C)= A x B-t- A x C,
(B — C) x A B x A- C x A.
D'autre part, la regle pour former les termnes du produit coincide avec l'une des regles habituellement indicluees pour former le
produit de deux determinants. Done
(A x B)- A(A) x A(B).
Mais cette operation n'est pas, en general, commutative; AxB
n'est pas necessairement egal a B x A, et il y a lieu de distinguer
le produit a cdloite et le produit a gauche par un tableau.
On remarquera, et ceci donne une raison d'etre de la definition
precedente, que la substitution associee au tableau AxB est le
produit des substitutions associees a chacun des facteurs, entendant par la que c'est le resultat obtenu en faisant d'abord la substitution B, puis, sur les nouvelles variables ainsi obtenues, la substitution A. D'autre part, le systeme de formes associe ai AxB
s'obtient en faisant la substitution A sur les variables du systeme
associe a B.
Un tableau est dit systemne simple et designe par [n] quand
tous ses termes sont nuls, a l'exception de ceux de la diagonale
principale ('), ceux-ci etant tous egaux a n. On obtient manifestement [m]xA ou Ax[nz], on simplement mnA, en multipliant
tous les termes de A par m. Les calculs entre systLmes simples se
reduisent aux calculs sur les nombres qui les constituent:
[/1 + [p ] = [7- + pp],
[n] x [p] = [tPI].
Le systeme simple [i] joue le role de l'unite, car c'est le seul
(1) On pourrait adopter une definition en multipliant colonnes par lignes. De
m6me, on aurait pu etablir autrement la correspondance entre tableau et substitution. La necessit6 de fixer ces conventions est une des raisons de cette introduction.
(2) Cette notation suppose, bien entendu, connu lordre du tableau.