Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE I.

I1 y a souvent avantage a raisonner directement sur ce tableau,
auquel on attribue ainsi une existence independante. C'est ce
qu'ont fait de nombreux algebristes et arithmtticiens, et il nous
suffira de citer l'exemple d'Hermite (dans la transformation des
fonctions abeliennes) et de Cayley ('). Nous designerons donc un
tel systeme de /i2 nombres par une seule lettre A et nous supposerons, sauf mention'du contraire, que le determinant A (A) forme
par les n2 nombres n'est pas nul; le tableau sera dit alors d'ordre
ou de rang n. Le systeme de formes, la substitution (i) seront
dits associe's au tableau; leur donnee entraine celle de A et reciproquement [pour cette reciproque, on concoit ]a necessite de
l'hypothese A(A) y o].
La somme de deux tableaux de mmec ordre est un tableau de
meme ordre, ou chaque terme est la somme des termes de meme
rang dans les deux premiers. Ainsi
a b c al b, cl a,+ b -b- +b c l
a' b' c' + ba' b; c' a' + a b' -+~ b c' c
a" b" c" a" b' cl a"- -a b"i- b'l c"+ c'l
Cette operation est associative et commutative, mais il se peut
clue le resultat ne soil pas un tableau de rang n, son determinant
pouvant etre nul. Nous verrons ulterieurement des applications
de cette notion.
Le produit de deux tableaux de meme ordre AxB est un
tableau de meme ordre, ou le terme aJ s'obtient en faisant la
somme des produits des termes de la ligne de rang i du premier
tableau A par les termes correspondants de la colonne de rang j
du second B. Ainsi
a b c a p Y
a' b' c' x cc't
a" b" c" ca" 3" a "
a 4-b a'-+- c cc' a - b f'-+- c " a ^ -- b y' — c Y
' a' c -+- b' c'-T- c' a a' [ -- b' f' + c' " a' y +- b' '- + c'".
all" C - b"' + c"c c" a" 3 - b" '+/ c"P " a" ll - b"(' +- c"I 7"

(1) On pent mtnme considerer de tels systemes comme gen6ralisant les nombres
ordinaires et constituant des nombres complexes (voir la-dessus l'article de
MM. Study et Cartan, Encyclopedie, t. I, vol. I, fasc. 3).