Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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NOTE IIl.

une suite de representants de chacune de ces classes, o appartenant
a A. Ceci pose, soit a un entier complexe non dans L, ou encore tel
que [a] soit premier avec &, et multiplions a successivement par
tous les nombres o, a(i); on obtient m nombres incongrus, mod.,,,
et qui, par consequent, constituent une nouvelle suite de repr6sentants des nz classes. Ceci prouve d'abord que l'equation congruentielle
ax = b (mod i9)
est, quel que soit b, verifiee par les nombres d'une et d'une seule
classe. En outre, si l'on fait le produit des m7 - congruences
ax'=', aaz"-1'; *-., aat(m-1) P(^-);
en ayant 6gard a ce que la suite des ( peut etre prise, a l'ordre pres,
identique a celle des a, on obtient
ant-l- (mod,),
quel que soit a, non dans,&. C'est l'extension du theoreme de Fermrat,
la norme de l'ideal remnplacant la valeur absolue du nombre
premier.
D'autre part, si l'on considere la suite des classes auxquelles appartiennent les puissances successives a, a2,..., on voit sans peine que
cette suite est periodique; si l'on obtient ainsi h classes differentes,
on a
ah== (modaJ),
au+;<a _ a't (mod,a, );
cette deuxi6me propriete admet sa reciproque. II s'ensuit que h est
un diviseur de m — i; c'est, en adoptant la locution classique, l'exposant auquel appartient a suivant le module e%. Je laisse au lecteur
le soin d'etendre de mmee la notion de racines primitives, le raisonnement si ing6nieux de Gauss, pour l'existence de ces racines, et la
th6orie des indices de Jacobi. On fera aussi aisement l'extension de la
fonction y(mn) pour un id6al non premier et l'extension a ce cas du
thdoreme de Fermat.
Considerons encore a un autre point de vue une equation congruentielle
f(x) = o (modAo),
f etant un polynome et JA un ideal premier. Si elle est verifiee par un
nombre entier ca du corps, on a identiqueement (c'est-a-dire que les
coefficients des memes puissances sont congrus)
f(X) (x) -a-)fi(x) (mod J).