Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

LES CONGRUENCES SUIVANT UN IDEAL ET LA NORME D'UN IDEAL. 151
id6aux [p] en produits de facteurs premiers. Comme a des p distincts
correspondent des id6aux premiers distincts, il existe bien tine infinite d'ideatux premiers.
Au sujet de cette recherche des ideaux premiers, on peut se poser
deux problimes sur lesquels je me contenterai de donner ici quelques
breves indications. On peut d'abord chercher les nombres premiers
rationnels p dont les facteurs premiers ideaux ne sont pas tous
distincts. Ces entiers sont en nombre fini et coincident avec les diviseurs du discriminant du corps, je renvois pour la demonstration
aux travaux de MM. Dedekind et Hensel. Signalons seulement que
ces diviseurs, qu'on appelle quelquefois nombres critiques, jouent
un role important dans la constitution de l'arithmetique du corps
(notamment dans la structure du groupe forme par les classes d'ideaux,
Chap. VII). On peut rapprocher ce role de celui joue par les points de
ramification (diviseurs de la fonction discriminante) dans l'Ftude des
fonctions algebriques: c'est ce rapprochement qui sert en somme de
point de depart lorsqu'on etudie simultan6ment les corps de nombres
et de fonctions. (Voir l'Encyclopedie, t. I, p. Io, articles de
G. Landsberg, de J. Hadamard et J. Ktirshak dans l'6dition francaise;
et les travaux de K. Hensel, G. Lanasberg, J. K6nig, etc.)
Ces nombres premiers critiques mis a part, on peut ensuite se
proposer de r6partir les autres nombres premiers en categories suivant le nombre et les degres respectifs de leurs facteurs premiers.
Dans la Note precedente, on a pu voir comment cette repartition est
liee, dans les corps quadratiques, a la notion de residus quadratiques (symbole de Legendre); pour les corps de la division du
cercle (definis par une racine miame de l'unite) elle depend de l'exposant auquel appartient p 7elativement aua module in (dans le
cas de m premier). Pour les corps plus generaux cette question se
rattache a l'etude de congruences de degre superieur a I relativement
h un module entier rationnel, on pourra en trouver un exemple 61ementaire (corps du troisi6me ordre) dans le livre de M. Sommer, traduit par M. Levy. (Voitr aussi aux Conmptes rendus de l'Acadenzie des
Sciences, seance du 15 mai 1911, une Note sur les corps abeliens du
troisieme ordre.)
Indiquons enfin comment on peut etendre aux congruences, suivant
un ideal, les proprietes classiques de la thiorie des nombres ordinaires. Soit done un ideal premier L de norme pf -i; il existe
7n classes d'entiers complexes du corps, incongrues suivant le
module &J; nous d6signerons par
O, at,...,