Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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NOTE III.

Aux entiers rationnels de <J correspondent les points du module dont
les n - i dernieres coordonnees relatives par rapport a T sont nulles.
Orp est le plus grand commun diviseur des premieres coordonnees
de ces points (voir Chap. II, la demonstration du theoreme fondamental), c'est-a-dire que p est le plus grand commun diviseur des
entiers rationnels de cL. De meme si la deuxi6me ligne de T est
form6e des conjugues de l'entier complexe o, pour tous les nombres
de o., qui sont de la forme xco, (.rentier rationnel) les n - 2 dernieres
coordonnees relatives par rapport a T sont nulles; ces nombres sont
de la forme yp2t (mais non reciproquement). Or l'ideal,o contient
l'entier pco, done P2 est tin diviseur de p; il en est de zmeme
de p3,.. ', p.
Considerons plus particulierement le cas de JL premier; alors
l'entierp est necessairement premier dans le domaine des entiers
rationnels. Sinon on aurait
P =p'x p", [p = [p'] x [p'];
l'idal premier A qui divise [p] diviserait l'un des facteurs [p']
ou [p"]; c'est-a-dire que,L9 devrait contenir l'un des entiers rationnelsp' ou p"qui n'est plus multiple de p. Les nombres p2,...,p
sont alors egaux respectivement a i ou a p et la norme de C9 est
egale a
pf (f n),
c'est-d-dire a une puissance du nornbre premier, plus grand
commun diviseur des nombres rationnels contenus nsdns. Cette
puissance f est appele le degre de l'idclal A.
D'autre part l'ideal,o contenantp, l'idtal principal [p] est divisible
par &, qui est par. suite un des facteurs de la decomposition de [p]
en facteurs premiers
[p] = ioL x 'I x....
Si l'on a egard a l'egalit6 des normes des deux membres
N([p]) = p, = N(.t) x N(x'o) x...,
on voit, d'une part, que les normes de,, Jl),... sont des puissances
de p
N(&) = pfz, N(l,) = pf,...,
d'autre part ces facteurs sont au plus en nombre n. On obtient done
la suite des ideaux premiers d'un corps, en considerant la suite des
entiers rationnels premiers p et en decomposant dans le corps les