Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

LES CONGRUENCES SUIVANT UN IDEAL ET LA NORME D'UN IDEAL. 149
Comme A(U) est une fonction entiere a coefficients entiers et ()'-F
une fonction primaire, A(P) x q est aussi un nombre entier, ce qui,
P
rapproch6 de la propriete deja etablie, montre que A(P) =- - Le
theor6me est encore vrai pour une forme c? non lineaire.
On d6duit de la que le plus grand commun diviseur des coefficients
de ( est independant du systeme de nombres a,,..., servant a d6finir
l'id6al. Reciproquement, si plusieurs nombres cc,,..., d'un ideal & sont
tels que le plus grand commun diviseur de la norme de cax +- Py...
soit egal a la norme de A, ces nombres peuvent servir a definir &,
ou encore la forme contient l'ideal. On voit aussi immediatement
qu'un ideal &l contient tous les coefficients de 4( (norme d'une forme (p
contenant J) et par suite leur plus grand commun diviseur qui est la
norme de A. Si cette norme est i, Ao contenant i, contient tous les
entiers complexes du corps, mais il ne pent contenir de nombres non
entiers, sinon? aurait au moins un tel coefficient a, et 4( ayant au
moins un coefficient fractionnaire [N(ac)], ne saurait admettre I
comme plus grand commun diviseur de ses coefficients; donc I = [I].
Cette meme interpr6tation de la norme fournit encore une demonstration simple de la propriete: La norme d'unproduit d'ideaux &A x
est egal au produit des normes. Soient deux formes
C( = x - - Py -T-..., ' = 'x' -i'y'-....
contenant respectivement do et s'; le produit? X?'= 7x''xx'' -X- 'xy'a + ' x'y +..
est une forme contenant AJ '. Or N(, x N(?) et (, X N(c')
etant deux polynomes primaires, leur produit est aussi primaire, ce
qui montre bien que N(A) x N((') est le plus grand commun
diviseur des coefficients de la norme de Q(p', c'est-a-dire est la norme
du produit AJL'.
Revenons au cas de,L entier et a la premiere definition de la norme.
Nous supposerons, ce qu'il est toujours possible de r6aliser, que la
premi6re ligne de T est formee de i et que la base relative de A
(a termes entiers) est sous la forme reduite d'Hermite
p... o
P a2 p *
a a,2.. pn