Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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NOTE II.

La premiere de ces classes est la classe principale, l'existence des
autres montre bien la n6cessite de l'introduction des ideaux. Dans
l'extension de ces calculs aux corps quadratiques quelconques, il est
a remarquer qu'ils se simplifieraient pour les corps imaginaires, chaque
classe est alors repr6sentee par un seul ideal reduit.
Structure des classes. - Appelons D, 21, Di, C, les classes precedentes. Calculons 212, l'ideal t qui represente cette classe est definie
par [2, V/821 et son carre par
[4, 2/82, 82] = [2, 2/8] = [],
id6al qui est principal, et 21' —. Calculons 32 x i, en faisant le
produit des idtaux correspondants on trouve
[6, 2 /, T 3 / 82, 82- + 82] = [6, -2 x 82, - 3 x 82, 82- + 82]
= [6, 2 + /2] = [6,- 8 + v/82],
et cet ideal appartient a la classe ~.
Calculons encore g2, le carr6 de l'ideal representatif est
[9, 3 -+- 3 82, 83 - 2 /82] = [9, - So -+,8, 3 x 83 -2 x 3],
= [9,- 8o -+ - s82=9, -8- 82],
ce qui est un ideal de -L. On peut alors r6sumer la structure
DI, 2 3= 3_, =, =.
Terminons cet exemple en montrant que les proprietes des nombres
premiers rationnels ne pouvaient pas se transporter aux nombres
premiers complexes du corps. L'id&al L -_ [2, v22] est premier, son
carr6 est l'id6al principal [2], cet ideal ayant pour seul facteur cA,
le nombre correspondant 2 n'est divisible par aucun entier complexe
du corps (car l'ideal correspondant devrait diviser JL); on pourrait
donc considirer 2 comme premier. Considtrons d'autre part l'ideal
egalement premier Jei -- [3, i -- V/82], son carre est un ideal de a:
2 == [9,-8e c82i]= i - + x t.
Mais alors l'ideal entier &ilsll2 qui appartient 'a l2 est principal
[- /5 + r | x,2 = [IO - -82],