Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

EKEMPLE DE CORPS ALGEBRIQUE.

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Oil
(4) u2 - 22 =O (nod 4);
si u et v sont impairs, leurs carres sont congrus a I, module 4, et la
congruence precedente ne peut etre verifiee. Si u ou v est pair,
l'autre l'est 6galement, c'est dire que x et y doivent etre entiers.
Done tout entier complexe du corps est de la forme
u 4- v - 82 (it, v entiers).
On verra sans peine comment ce raisonnement s'etend au cas general
d'un corps du deuxieme degr6 K(\/d), d sans facteur carre; il y a
lieu de distinguer deux cas, suivant que d est congru ou non a I
(module 4).
Une base des entiers du corps est constituee precisement par le
tableau T pris comme op6rateur. Le d6terminant du corps est
x 2
D == |= 4 x 82.
V/8 2 — /82
les tableaux correspondant aux entiers complexes sont, it, v etant des
entiers,
it p[, o I] ~ o
= [] I ~ -+- [P] X | I
82v it o i 82 o
Idceaux du corps. - Cherchons la forme generale de la base
relative d'un ideal (entier ou fractionnaire) du corps. On peut mettre
cette base sous la forme d'Hermite
o
P=, (o a'<p, o <q),
a q
il faut et il suffit que le tableau
af p'
Px 0 xP- q q
82 o 82 q a'2 a'
11 P p'q q
soit a termes entiers; il faut d'abord que a' et p' soient divisibles
8 - a2
par q; si a etp sont leurs quotients, il faut en outre que soit
par q; Si a et, p sont leurs q s~ ~ ~ ~~~/3