Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

k~RIODES DES FONCTIONS.

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remplacer cette droite par toute autre droite parallele (ocit+- i), on
ne fait ainsi qu'une translation (yi) sur le module S.
Enfin, en supposant toujours F continue, la fonction f(t), obtenue
en prenant les valeurs de F sur une des droites precedentes n'est pas
quelconque. La donnee a priori de f entraine la donnee de F, en des
points d'un ensemble dense, il faut et suffit que la fonction ainsi
definie pour ce seul ensemble de points soit elle-mmem continue
(voir BAIRE, loc. cit.). On peut traduire ceci par une condition necessaire et suffisante pourf:
5. Pour que f(t) relprsente les valeur7s d'une fonction periodiqute F(xl,..., x,,) de priodes
[ ai... a, l 11 = 11 el... e,,1 xI A (ei entiers),
en tous les points d'une droite (ac t,...,.a, t) verifiant les conditions
de la proprieted b, il faut et il suffit qu'etant donne t quelconque
et un nombre ~ > o on puisse troucer un nombre s', de facon que
pour toute valeur t' telle que
[|ai(t- t') - a[,..., | <,(t -t ')-a C,] < '
ou telle encore que Pi(t- t') difgere de nombres enltiers de moins
de s", on ait
If(t') -f(t) < z.
Une telle fonction f(t) est appelee par M. Esclangon quasi-periodique, on voit qu'elle n'est pas p6riodique, mais repasse une infinite
de fois par des valeurs aussi voisines qu'on voudra d'une quelconque
de ses valeurs. II existe une infinit6 de telles fonctions attach6es a
un meme module,1i de p6riodes et a une meme droite. L'expression
de ces fonctions au moyen d'un certain nombre d'entre elles se rattache plutot au domaine del'Analyse. Je renvoie pour cela le lecteur
au Memoire de M. Esclangon; on y trouvera aussi une question
d'ordre plus aritlhmtique mrais que le cadre de cet Ouvrage ne me
permet pas de d6velopper: la recherche des diffirents modules de
periodes auxquels est attach6e une meme fonction quasi-p6riodique.