Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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NOTE I.

Si O1L n'est pas type, ses points, c'est-a-dire les periodes de F, sont
donn6s par l'6galite (2). Appelons 4((yl,... yq, z.., zp) la fonction
transforrnee de F par la substitution associee au Tableau A- (P);
cette fonction admet les periodes (c1,..., cp) qui forment un ensemble
dense dans tout le sous-espace a p dimensions. Donc pour toutes valeurs
des z, on peut trouver des c tels que, quel que soit s,
I z- Ci < E, ) Z2- c2 1 <,.,.p- Cp I <.
Mais ( etant continue, pour un systeme donn6 de y, on peut a toute
valeur donnee de a' faire correspondre une valeur de a, donc des ci,
tels que
I ~(Y1,.., yq; z1,.., zP ) -,(yl,..., y; c1,..., cp)I < C
ou, en tenant compte de la p6riodicite,
I (yi, **.,y; z1, *., Z)- )(y, *, yq; o..., o) < a';
comme s' est arbitraire, on en deduit
(.yl.... ***y Y; zl,. *., ) =,(yl, **.,y; o,, 0),
c'est dire que ( ne depend pas des z et l'ensemble des points (ci) est
identique a celui des points de Ep. Les seules periodes de F, considere
comme fonction des ), sont (bl,..., bq) et elles constituent un
module type, ce qui d6montre la proposition enoncee.
Si nous revenons aux p6riodes memes de F, on peut mettre leur
expression sous la forme
11 a,... a,, 11 = 11 el... e,- 1 'x R + [1 A1... xp 11 x P,
les?~ sont des indeterminees quelconques et les e des indeterminees
entieres; la matrice R de type (r, ii) et de rang r(r <n - p) est d6fini
a un produit pres a gauche par un tableau unimodulaire d'ordre r;
la matrice P de type (p, n) et de rang p est defini a un produit pres a
gauche par un tableau quelconque d'ordre p. I1 est a rernarquer que
la d6monstration resterait valable si F avait des discontinuit6sisolees.
Si une fonction est irr6ductible, le module de ses periodes est type
de dimension au plus n; c'est dire encore qu'il y a au plus i p6riodes
ind6pendantes, toutes les autres s'en diduisant par addition et soustraction. Dans le cas particulier d'une seule variable, la fonction est
constante ou irreductible; dans ce cas, toutes les periodes, si elles
existent, sont de la forme kca, k indeterminee entiere.
On peut encore appliquer le resultat obtenu a une fonction de n