Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

PERIODES DES FONCTIONS.

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on en deduit que, quels que soient les x': (xl xi -- ai),
F( x —a-) - F(x),
c'est-a-dire que F admet la periode (- ai). Si une fonction admet
les deux periodes (ai), (hi), elle admet manifestement (- ai~ bi);
car
F(xi - ai -- bi) = F(xi(- i a) F(xi).
Done, si lon considere une periode comme definissant un point d'un
espace h n dimensions, les periodes d'une nmeme fonctionforment un
module.
Si l'on fait sur les variables x une substitution lineaire definie par
[l X... * x l = = [Iy y... y A, A(A) o,
la fonction des x devient une fonction 4) desy encore p6riodique, dont
les periodes (bi) sont donnees en fonction des (ai) par la meme substitution. II peut se faire que, par un choix convenable de A, la
fonction 4) ne depende plus que de q variables au lieu de n, par
exemple y,..., yq. C'est dire que 4) ou F reste constante lorsque
yq+-,..., y,L varient d'une facon quelconque, done certaines periodes
de ( seront constituees par
(o,., o, Aq+i, *.,, ),
les k ayant des valeurs completement arbitraires. On en d6duit pour F
des periodes correspondantes qui seront constituees par tous les
points du sous-espace defini par l'origine et les n- q — p derni6res
lignes de A; c'est ce que M. Esclangon appelle des periodes impropr'es.
Dans le cas oit F est continue dans tout l'espace, on peut preciser
la nature du module forme par ses p6riodes:
3. On peut alors ramener F par une substitution lineaire a nz'etre
qai'une fonction 4) de q var'iables indepedclantes (q < in), les periodes
relatives a cette nouvellefonction formant an module type dans
V'espace d q dimensions.
Soit 1LI le module des periodes; s'il est type l'ensemble des points
de;)/L n'est dense dans aucun sous-espace, a fortiori il ne contient
pas de periodes impropres (formees par tous les points d'un sousespace) et aucune substitution ne peut diminuer le nombre de
variables de F; M. Esclangon appelle une telle fonction, irreductible.