Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

PERIODES DES FONCTIONS. 13
de E, par rapport i B
II X1... X 11 = 11 1... up It X B.
Alors, si lon prend un point M ddtermine (ut,..., up) de Ep, il existe
un systeme d'entiers (eL,..., el,), tels que
(itl — eij, |i - e2|,..., - e) ) < -
2
Mais ces entiers sont les coordonn6es relatives d'un point A de 31L
appartenant a E,, et si ai en sont les coordonnees absolues et xi
celles de I, les inegalites pr6ecdentes entrainent
(I l - al|, IX2-a2 |,..., I X, CL~ ' )- 9Pr,
ce qui montre qu'au voisinage de tout point M de Ep existent des points
de 01L.
Soit alors P une matrice de ce sous-espace, Q une matrice formant
avec P un Tableau d'ordre n, A (Q) et faisons le changement de
coordonnees
1I xi... x,, 11-=[ y... y? nZ... * lz, 11 x A
-i yl *. yq 11 XQ+-... Z X P.
Les in6galites (i) entrainent des in6galites analogues pour les nouvelles coordonn6es
|bil <',.., bql<^; \ci,<s',... Ic <<.
Pour les valeurs assez petites de E', tous les points verifiant ces
inegalites sont dans Ep, c'est-a-dire que les coordonnes b sont toutes
nulles; or les points (b,,..., bq) forment un module, pour E' assez
petit il n'y a aucun de ces points vdrifiant les q premieres dgalites
precedentes; donc, quel que soit E', il n'y en a qu'un nombre fini et
le module est type, ou encore
11 bx... bq 1 = 1[ et... e. 1I x R,
R tableau d'ordre r<q et les e entiers. En revenant aux coordonnees
absolues des points de D1L
(2) II a.. a, =l e... e, x R x Q -I c.... c,, x P.
La premiere partie de la somme du deuxieme membre represente des
points d'un module type Q de dimension r-q; la deuxieme partie