Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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NOTE I.

NOTE I.
PtRIODES DES FONCTIONS.
La theorie des modules est susceptible d'applications interessantes
aux proprietes des fonctions periodiques. Nous allons dans cette Note
en indiquer quelques-unes des plus essentielles; la plupart d'entre elles
ainsi que les definitions adoptees out et enmpruntees au tres interessant Memoire de M. Esclangon sur lesfonctions quasi-pedriodiques (1).
Nous completerons d'abord un resultat obtenu pour les modules
non types de dimension:
1. Si uLn module 01L dans un espace a n dimensions n'est pas
type, il existe un souts-module c de 1Rv, peeut-etre confondlu a,,ec 1IL,
dont les points forinent un ensemble partout dense dans l'espace
o ui dans le sous-espace de dimension p, quL'ils definissent. En outre,
le module 01L se dedduit de T en ajouta-t a chacun de ses points
ceucx d'untz moducle type u au plus de dimensio nn —p =q.
En effet il y a une infinite de points de o)1 verifiant
(I) | C1 | < | C <,..., | a | < E,
quel que soit s. Pour une premiere valeur de s, les solutions definissent
un sous-espace lineaire E passant par l'origine et peut-tre confondu
avec l'espace; si l'on donne a s des valeurs decroissantes, on obtient
des sous-espaces E', E,..., clacun d'eux inclus ou identique au
precedent et tous de dimension non nulle. Pour une valeur ~p
suffisamment petite, on obtiendra un sous-espace E1 de dimension p (mnp >i) qui restera le meme pour toutes les valeurs inferieures de s. C'est dire encore que, pour E <,E, toutes les solutions
de (i) seront dans Ep et qu'on pourra toujours trouverp d'entre elles
formant une matrice de rang p.
Soit une telle matrice B dont les valeurs absolues des termes soient
inferieures a -t et considerons les coordonn6es relatives ui des points

(1) Aunales de l'Observatoire de Bordeaux, I904.