Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE VII.

les solutions de
o^X., [I] OU CJ1 = [],
sont donnees par, = A- I []. ou X J &-1.I
On en deduit aisement les regles de calcul (') sur les classes.
Ces classes, etant en nombre fini, forment un groupe d'un nombre
fini d'elements dont la structure est en quelque sorle caracteristique du corps considere; on pourra aisement la trouver en choisissant un ideal dans chaque classe et en formant leurs produits
deux h deux. Cette structure etant etablie, tout calcul sur des ideaux
se ramenera ensuite a des calculs sur des ideaux principaux, quotients des ideaux donnes par ceux qui servent a representer les
classes.
Remarquons encore que le nombre de classes d'ideaux etant
fini, les puissances de l'une d'elles, quelconque, ne sont pas
indefiniment distinctes, c'est-a-dire,+6-g= A2g ou L t=,
c'est dire encore que pour tout ideal ^> il existe une puissance h
telle que Ah soit principal. Ceci pose, considerons l'ensemble de
tous les entiers complexes algebriques et soit a,,..., un nombre
fini d'entre eux. Ils definissent un corps K(c, 3,...), et dans ce
corps, un ideal entier &L dont une puissance h est un ideal principal [o] necessairement entier; considerons l'entier 3 defini, au
produit pres par une racine de l'unite, par l'equation
3', = 0;
Tout entier complexe [ diviseur commun de a, S,... divise
tous les entiers de,; Eh divise les entiers de Ah, et par conse(') Si l'on considere les syst6mes de formes d6composables d6finis respectivement par A et 3, le syst6me de formes defini par c: est tel que chacune de ses
formes a pour valeurs nutneriques les produits des valeurs numeriques des premieres formes. Un exemple connu de cette composition de deux formes est donne
par l'exemple du corps KI(i), il n'y a alors qu'une seule classe d'iddaux, la classe
principale, les formes decomposables associ6es ayant pour valeurs num6riques
des sommes de deux carres de nombres entiers, ceci se traduit par le fait que le
produit d'une somrre de deux carrds (d'entiers ordinaires) est une somme de
deux carr6s.