Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

REDUCTION D'UNE BISE D'UN CORPS ALGEBRIQUE. 127
inferieure n ml; done, d'apres le premier theoreme de Minkowski
i< H A(T)l x (P-l)l,
A (P) | IHl A (T) l;
|A(P)] est limite superieurement. II enest de meme des denominateurs des termes de P- et le determinant A(P-~) ne peut
prendre qu'un nombre limite de valeurs; les tableaux p-' ne
peuvent done appartenir qu'a un nombre fini de systemes. Mais
a des tableaux P-1 equivalents correspond un mnme ideal, i n'y
a par consequent qu'un nombre fini d'icdeaux reduits ('), done de
classes.
L'eqtuivalence des idceaux est liee a leurs regles de calcul;
entraiNent, ~% ',lbJt'.
En effet, les deux prenmieres egalites traduisent des egalites
~ Th, = ~'[n], i, = — u''[']; on en cldduit '1,,- J'ib'[[l/]. On
peut encore enoncer ce resulltat en definissant le produit de
deux classes d'ideaux; etant donnes deux telles classes A.
et T, on appelle ainsi la classe ( - A x l constitute par tous
les ideaux producits d'un ideal de A par tun ideal de b.
L'ensemble de ces produits est bien une classe d'apres ce qui
precede; en outre, l'operation ainsi definie est manifestement
Uniivoque, associative et commutative, ainsi que la multiplication
des ideaux. qui sert a la definir. La classe principale Tl joue le
role de l'unitd, car elle est telle qule i3. = 1.
II y a une et une seule classe inverse d'une classe donnee constituee par les inverses des ideaux de la classe primitive, car toutes
(1) On aurait encore pu nontrer qu'il n'y a qu'un nombre fini cle representations ayant pour op6rateur un tableau A ' (voir propridets du discriminant);
I A (W') [ n'est pas connu, mais lirnite superieurement et inftrieurement. Done les
termes de
W'x [ix,..,,] x ]X -
qui sont des entiers rationnels sont aussi lirnit6s superieurement en valeur absolue, quand o est un entier determind du corps
L'inconvenient de cette mtlhode est de fournir les representations reduites qui
peuvent etre en plus grand nombre que les ideaux reduits. Le calcul effectif du
nombre de classes est un probleme assez difficile et n'a det aborde jusque maintenant que par des mtlhodes analytiques analogues i celles employ6es pour la
densite des nombres premiers.