Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

126

CIHAPITRE VII.

ideaux equivalents a un aaire le sont entre eux. Ceci resulle aussi
des calculs manifestes
% =- k[nry], entraine = L I;
[ entrainent &L = al)
<l = 3[>], '
Donc, on peut repartir sans ambiguite les ideaux en classes,
deux ideaux d'une meme classe etant equivalents. Atous les ideaux
d'une mnime classe correspondent les memes representations
reduites en nombre fini. Tous les icldecux equivalents a [i] sont
tous les ideaux principaux et forment la classe dite principale.
Pour chercher si deux ideaux L' et L" sont de mnme classe,
considerons l'ensemble des bases reduites de /,l, U, U,...;
dans chacune d'elles, divisons les termes des differentes lignes par
les termes correspondants de la premiere ligne, on obtient ainsi
des tableaux W'i, W.,.... Pour deux U' differant par une dilatation, les rapports mutuels des termes d'une colonne sont les
memes, il leur correspond le memne tableau WI'; done ces derniers
sont en nombre fini. II suffit de faire les mmees operations sur %,
si les UI different des U' par une dilatation, les WiN devront etre
identiques aux V:'.
On peut considerer que ces tableaux VT' sont caracteristiques
d'une classe d'ideaux. Chacun d'eux W~' est deduit d'une base U'
d'un ideal VA par une dilatation.' *,; 'a etant le nombre
qui constitue la premiere ligne de U', done W/ est une base de
l'ideal c 'Lx -; on obtient ainsi dans la classe un certain
nombre fini d'ideaux J qu'on peut appeler encore e'duits, et
pour chercher toutes les classes, il suffit de chercher tous ces
ideaux reduits; chacun d'eux peut d'ailleurs avoir plusieurs bases
reduites. Un tel ideal contient i, c'est done l'inverse d'un ideal
entier (Chap. V) et sa base relative est l'inverse P-' d'un Tableau
a termes entiers.
Nous allons alors montrer que le nonmbre des classes d'ide'aux
est fini. En effet, tout tableau W' etant reduit dans le syst&ne
ddfini par P- x T, la norme de la premiere ligne qui est i est