Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE VII.

Ce theoreme a ete etabli, suivant une marche analogue, par
Hermite (Journal de Crelle, t. 47), qui l'enoncait: II n'y a
qu'un nombre fini d'irrationalites distinctes, parmi les racines de toutes les equations algebriques a coefficients entiers
de degre et de discriminant donne. 1I entendait par irrationalites
non distinctes deux nombres algebriques tels que l'un fut une
fonction de l'autre, rationnelle et a coefficients rationnels.
Remarquons encore que la demonstration precedente peut, a la
rigueur, constituer une methode de recherche des corps d'un
discriminant donne; toutefois, cette methode basee sur des
inegalites fournirait non seulement les corps doni le discriminant
est egal a d, mais ceux pour lesquels il est inferieur (en valeur
absolue), et peut-etre certains pour lesquels il est superieur.
Enfin, il peut se faire qu'il n'y ait pas de corps dont le discriminant soit d. On peut indiquer a ce propos la propriete trouvee
par Minkowski et qui est une consequence du theoreme I:
Le discriminant d'un corps est toujours diffe'rent de ~ i.
En effet, considerons un corps determine et T une base de ses
entiers; dans le module c de base T, on peut trouver un
point A( C, a,..., a,,) et un systeme de parametres tel que la
spanne a p parametres S(oA) ne soit pas a la fois de rang I, 2,...,
p, et soit au plus egal a la racine nr",em de
(2) (T)I = ) dl.
On en deduit, a etant l'entier du corps K correspondant a A,
| N(a) l = |l O. *. a, I < [S (OA)]< [sIV/ d,
ce qui demontre le theoreme, puisque N(a) est au moins egal (')
a i. On peut trouver des limites inferieures plus elevees, en
considerant la trace (2) au lieu de la norme, et en supposant
alors que S represente I'ecart.
(1) Dans le cas n = 2,p =, on a N(a) = laa1X2 = [S(OA)]2.II y a donc excep/2\
tion a la demonstration precedente, mais comme (-) est inferieur a I la propriet6 est toujours vraie.
(2) Voir sur ce sujet soit la Geometrie der Zahlen soit les DiophantischeApproximationen.