Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

REDUCTION D'UNE BASE D'UN CORPS ALGEBRIQUE. 123
Chercher ceux de ces entiers dont la norme est r i revient
a resoudre l'equation diophantique
F(.x, X2...,Xn) =-I,
F =*(+' 1 ' Xl+o)+*..I ' +2wi ),
F est la forme decomposable associee a T (suppose constitue par les
entiers (i)). Nous avons vu qu'on obtient en meme temps les
substitutions automorphes de F.
Propri6tes du discriminant.
La limitation obtenue pour les termes d'un tableau reduit peut
encore s'appliquer a la representation des termes d'un corps par
des tableaux. Toujours avec les memes notations que precedemment, le tableau
X =U[ I,,,..., 73,U-1
a ses termes rationnels. On peut faire une dilatation sur l'operateur
sans changer X et supposer, en faisant la dilatation [t1, t,..., t],
que les termes de cet operateur sont limites superieurement en
fonction de I A(U) = A(T) 1. I1 en est de meme des termes de X,
mais la limite superieure depend cette fois de I A(T) et des valeurs
absolues des mi. Nous allons appliquer ces resultats pour demontrer qu'il nS'y a qu'ttln nombre fini de coips d'ordrle n ayant u'z
discrim? i7ZtC7t doznne d.
Pour y arriver, supposons qu'on ait represente les nombres
de chaque corps cherche par des tableaux, l'operateur etant une
base reduite U du corps, lA(U)I est egal a V\/ld. D'apres le premier theoreme de Ilinkowski, dans le module de points de base U,
existe au moins un point (o,, (.2,..., o,,) tel que
(|l)o i 1, l2...,1 1)< IH (U) I;
to est un entier complexe, le tableau correspondant a ses termes
entiers et limites superieurement, en valeur absolue, en fonction
seulement de d et H supposes connus. Donc, il ne pent y avoir
qu'un nombre fini de tels tableaux, done de representations, donc
de corps.