Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE VII.

Le module des /' etant type et de dimension p- i, tous ses
points sont donnes par l'egalite
11 /'1 r1 '... rp = 1 X1 x2... XIP-I 11 X R,
les x etant des entiers et R une matrice de type (p - i, p) et de
rang p -. En remontant des logarithmes aux nombres et en
ayant egard a ce que nous n'avons pas distingue entre deux unites
differant par une racine de l'unite, on voit que toutes les unites
seront comprises dans la formule
e =- + -'e(l))x,(e() )x2... (eP-l)xt,-j,
e(i) tant p - unites convenablement choisies (lignes de R),
xi des exposants entiers et ~ les racines de l'unite du corps (2).
On voit en outre que pourp > i les unites e(i) qu'on peut appeler
fondamentales ne sont pas determinees, R n'etant alors defini
qu'a une equivalence pres; on en deduit immediatement les relations entre les divers systemes d'unites fondamentales.
I1 n'est pas sans interet de constater que, dans chaque cas ou l'on
aura une mrethode pratique de recherche des tableaux reduits, la
demonstration precedente donnera non seulement une affirmation
d'existence des unites, mais encore un procede de recherche (on
pourrait presque dire le seul procede de recherche, en tenant
compte de la latitude possible dans la definition des tableaux
reduits). En prdcisant dans chaque cas particulier la demonstration du fait que le module est de dimension p - I, on trouvera un
systLme d'unites fondamentales (systeme de translations fondamentales). C'est ainsi que pour le deuxieme degre la recherche
d'une unite fondamentale est ramenee a un d.veloppement en
fraction continue.
Indiquons enfin la relation entre ce probleme des unites et la
resolution d'une certaine equation diophantique. Tout entier complexe a pour conjugues les termes de
II x 2... x, 1I x T (x entiers).

(1) Dans le cas du deuxieme ordre reel ou du troisieme ordre A corps imaginaires conjugues, cette forrule se rdduit a
e = - (e('))x,
on peut comparer ceci avec la resolution de l'dquation de Pell-Fermat.