Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

REDUCTION D'UNE BASE D'UN CORPS ALGEBRIQUE.

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adoptee pour les parametres; donc les points (r,, '.,..., rp)
appartiennent au sous-espace A, ils y constituent un module car le
produit ou le quotient de deux unites etant encore une unite, la
somme ou la difference de deux tels points appartient encore
a l'ensemble. Ce module est type, les inegalites I 7i | < ~ entrainent
en effet pour les I ei I une limitation superieure et inferieure et il
n'y a qu'un nombre fini d'entiers complexes, donc a fortiori un
nombre fini d'unites satisfaisant a ces conditions.
Enfin ce module est effectivement de dimension p -; considerons un ensemble de tableaux reduits, en nombre fini, dont on peut
deduire tous les autres par des dilatations E. Chacun de ces tableaux
provient d'un systeme de minima simultanes A de;, envisageons
dans A l'ensemble ( ) C des points pour lesquels au moins un des A
soit minimum; cet ensemble est limite. Si maintenant, nous faisons
sur les tableaux reduits precedents une dilatation E, a ces nouveaux
tableaux correspond un nouvel ensemble Cf qu'on deduit de C en
remplacant chaque systeme de parametres )\i par -, on encore, en
ei
passant aux logarithmes, chaque point de c,
(pi, p,.., p,), par (p — 7 ', P.- '2,, p- rp);
ce qu'on peut traduire geometriquement en disant qu'on fait sur Cf
la translation (- r,, - ra,..., - 'p); tous les ensembles (' ainsi
obtenus doivent couvrir le sous-espace A. Or, ceci ne peut se produire si les points ( — ri, - r,,..., - rp) appartiennent aun sousespace de A; car s'il en etait ainsi, on aurait une relation
v 7'1I -- V 2r+. * *.+ - p - p = o;
d'autre part, C etant limite, ses points verifient une inegalite de la
forme
vIpl+ P2I- -...-+ Vppp < H',
et cette inegalite serait verifiee par les points de tous les j' qui ne
pourraient donc couvrir A (2).
(1) C'est encore un domaine et en choisissant convenablement les tableaux
r6duits initiaux, on pourrait s'arranger pour qu'il fit d'un seul tenant et sans
trous.
(2) On pourrait modifier la d6monstration precedente en montrant, par exemple
l'existence d'uoitds, dont p —I coordonnees seraient inferieures a une quantite
donnde, en valeur absolue; la ddmonstration precedente me parait plus conforme
a l'esprit de la methode des variables continues d'Hermite.