Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE VII.

est le tableau canonique forme par ses n conjugues, le tableau
TET-~ = est unimodulaire. Mais alors, U etant reduit quelconque, UE est un tableau reduit (conditions invariantes pour
une dilatation) dans le systeme de tableaux equivalents a TE ST
ou encore dans le systeme defini par T. Comme, pour cette reciproque, on pent supposer que U est un tableau reduit quelconque,
on voit que le choix de ce tableau U initial est indifferent.
Nous allons pouvoir deduire de ceci quelques precisions sur
la structure de l'ensemble des unites d'un corps. Pour avoir cet
ensemble, etant donne un tableau reduit U, il suffit de faire son
quotient a droite par chacun des autres tableaux reduits U' et de
conserver ceux de ces quotients qui sont des tableaux canoniques.
11 pent se faire d'abord que les termes de U et de U' soient egaux
en valeur absolue, alors les termes de E = [I,, s2,..., sn] ont separement i pour valeur absolue. Remarquons que toute puissance
entiere d'u ie unile est encore une unite; dans le cas present, les
valeurs absolues des conjugues de sk sont toujours egales a i. Les
points correspondants aux sk faisant partie d'un module type et
ayant leurs coordonnees limitees superieurement en valeur absolue
sont en nombre fini. Donc Ies diverses puissances de s ne sont pas
distinctes; on a, par exemple,
~q+-' = Er Oil ( q = I;
ce qui montre que e est une racine de l'unite. II n'existe pas en
general de telles unites dans le corps, a l'exception de ~ I; d'apres
ce que nous avons vu sur les elements primitifs et imprimitifs, pour
que ceci se produise il est necessaire que le corps soit totalement
imaginaire (2s -n). En outre, le nombre de ces unites, si elles
existent, est fini, leur degre devant etre un diviseur de n.
Ecartons momentanement ces racines de l'unite, et meme ne
distinguons pas entre deux unites du corps dont le quotient serait
une telle racine. Ceci revient a ne considerer que les valeurs
absolues des conjugues de claque unite. Soit e, 1, e2..., [ ep I
ces valeurs (p =r +s); il en au moins une differente de i d'apres
notre convention. Posons comme pour les systemes de parametres
L ' i= log e 1I, N-2= log e I,..., rp = logI e,.
La condition N(e) = — I entraine entre les ir la relation (4 te,')