Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

REDUCTION D'UNE BASE D'UN CORPS ALGEBRIQUE. I19
qu'a T, ou encore que ST - TE, le produit a droite par E etant
une dilatation pour T. A chaque substitution automorphe de F
correspond une substitution automorphe de D. Car, si l'on a
T - SU, on doit avoir
(S-SS) U = UE (S-'1S modulaire).
Mais UE est reduit dans le systeme de tableaux equivalents a TE
qui est identique au systeme deini par T; done on obtiendra tous
les tableaux modulaires S-'ES en cherchant parmi les tableaux
reduits dquivalents a T tous ceux qui se deduisent par une dilatation d'un tableau reduit U choisi. La signification des tableaux
ainsi trouves montre que le choix du tableau reduit initial U est
indifferent et qu'on doit obtenir les mremes tableaux 5, en nombre
infini, quel que soit U. Nous allons retrouver directement ces
resultals pour un cas plus particulierement interessant.
Unit6s d'un corps.
Supposons pour ce qui va suivre que T soit une base (1) des
entiers d'un corps K(o) (r- - s> i). D'apres ce qui precede il y
a au moins un tableau U reduit, clquivalent 'a T, tel qu'il existe
une infinite de tableaux reduits se deduisant de U par une dilatation, U'- UE; lout tableau canonique E, ainsi obtenu, est
fornme par les conjugue's d'unl entier duc corps dont la norme
est I (c'est-a-dire d'eune zunite du corps) et reciproquement
toutes les unite's du corps sont ainsi obtenues.
En effet, tJ' etant equivalent a U, on a
U — = UE ou = UEU-1.
Le tableau E ayant pour operateur une base des entiers de K et
etant a termes entiers, son tableau canonique E est bien forme par
les n conjugues d'un entier s complexe de K; en outre,
N()= A(X)= T,
Reciproquement, si e est une unite de K et si E - [e,, e2,..., e,,]

(1) S'il n'en etait pas ainsi, la meme recherche conduirait encore aux unites
du corps si T 6tait une base d'un iddal du corps ou aux unitds d'un ordcre si T
dtait, a une dilatation pres, la base d'un idal de l'o rdre.