Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE VII.

au mnins egale a 1 et ii en est de meme de chaque minimum mi,
de sorte que dans l'inegalite (5 bis) de Minkowski chacun des facteurs du premier meimbre est inferieur an second meinlre
mn< HI A(T).
Done si l'on fait sur V la dilatation de determinant I,
Vx [tl, t,...,t,^],
chaque terme de ce tableau (et non plus seulement chaque terme
du developpement du determinant), est limite superieurement en
valeur absolue [inferieur a HI A(T)J]. 11 en est de meme des
termes du tableau rdduit (1),
(I) U X [ ti, t2,., t,] = S X [t, t..., t,],
puisque les termes de S sont au plus egaux a i en valeur absolue.
Considerons alors la forme decomposable associee au tableau T,
i..n
Les coefficients de F etant des fonctions entieres, symderiques
separement par rapport aux conjugues de chaque entier conlplexe o)(i), sont des entiers rationnels. II en est de meme pour la
forme ( (equivalente a F) associee au tableau reduit U ou encore
au tableau (i). Les termes de ce tableau etant limites superieurement en valetr absolue, il en est de mIme des coefficients de (1
et il ne pent y avoir qn'un nombre fini de formes (I distinctes.
Comme la connaissance d'une telle forme n'entraine celle du
tableau auquel elle est associee qu'a une dilatation pres, et
comme d'autre part, il y a une infinite de tableaux rednits
(si r -j s > I) equivalents a T, on en deduit que les tableaux
reduits equivalents ct T se leuisent to us par des dilactations
d'un nombre fini d'entre eux.
Ceci permet de ddmonlrer qu'il existe des substitutions autonmorphes ou semblables de la formie F. On appelle ainsi toLte
substitution modulaire E qui transforme F en elle-meme; ce qui
revient a dire qu'au tableau S x T est associee la meme forme

(1) Pour arriver a ce r6sultat il n'est pas absolument ndcessaire de supposerT
fornim d'entiers, on pourrait encore i'obtenir en remarquant que si T est fractionnaire les normes des termes de g sont limitLes en valeur absolue.