Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

REDUCTION CONTINUELLE ET THEOREMIIES DE MINKOWSKI.

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la limitation des t' etant donnee comme precedemment en remplacant mk par m_-1. Pour comparer ce volume au precedent,
multiplions les deux membres de la derniere condition par
90,= - en faisant porter cette multiplication sur chaque variable dansf [deuxiemle condition (5)1 et faisons (') le changement
de variable O t = ti, on oblient
w</ ~... Sdt/,... dtn,
Si== I dx\. dx-l,-_I
(6 bis),
f/..., (x/, _i-e/k-, ), t/,,...] _ _ ac.
La limitation des t est cetle fois la nienle que pour I'evaluation
de S. Donc pour comparer ~k et o_, il suffit de comparer S
et S, pour un meme systieme de valeurs de t,..., t,,. Un tel systeme etant choisi, les ecquations (6) et (6bis) definissent des
domaines dans eI solis-espace de dimension k-I, defini par
n-k -- i equatiois xi= ti. On ne peut pas en general affirmer
que le domaine (6) soit inclus dans le domaine (6 bis), mais on
peut, en translalant l'un des deux domaines, s'arranger pour qtlil
en soit ainsi. Soit (o,,,_,..., ak_,) une solution de (7) et faisons
dans l'integrale S le changement de variables (translation),
Xi= Xi -- -ai
on obtient
S f...fdx',...dx',_,
pour
(6 ter) f...,(Xi ei).- 0 =j ',...tj, *... < I/ I.
Mais tou-t point du domaine (6 bis) est interieur a (6 tel). En effet
(1) Dans le cas n = 3 (coordonn6es x, y, z) et k = 3, on peut exprinier ce
changement en disant qu'on fait une dilatation de cote sur les corps de a2 dont
les centres sont dans le plan xoy. La cote de ces nouveaux corps varie alors
dans les memes limites que pour les corps de Q3 ayant leurs centres dans xoy.
Les surfaces S et Si sont celles des sections de ces deux groupes de corps par un
merne plan parallele i xoy. On interpretera sans difficulte les operations faites
pour leur comparaison.

C.

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