Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

I I'2

CHAPlTRE VI.

les memnes n - k + I dernieres coordonnees (nombres entiers).
D'apres ce qui precede, deux groupes distincts ne peuvent avoir
de points communs de sorte que Vk est egal a la somme des volumes
de chacun des groupes. Mais ces volumes sont egaux entre eux,
car on pent etablir entre les points de deux groupes une correspondance biunivoque qui consiste a ajouter aux n — k i+ dernieres coordonnees des constantes entieres. On a done
Vk = (2 ) t I)r-t'+i Wk
=.....dx dx2... dxn
I
J (xi - e,.., Xk-I - ek-I ], X...., x7) - ink,
I ei entier wo.
Mais on peut calculer l'integrale precedente en deux etapes,
S _ JS....Jdx~... dxk-_
(6)
f(xi el, -.., x/k —e/-l, t/,,., t,l) <) 2m,
w... S dtk... dt- -
Dans la deuxieme integrale les limites des t sont donnees par la
condition que S existe ou encore que l'equation
(7) f(yiy2, * * *, yk-i, t, * - t) /nk,
ait des solutions en y.
Considerons maintenant le domaine Qki, si nous repartissons
encore les corps en (209 -- )/ —+ groupes, les centres des corps
d'un meme groupe ayant les memes n - k + dernieres coordonnees, a fortiori deux groupes n'empietent pas et 1e volume est
donne par
1c-1 = ( 20 4- 1i) —k+l Wkc
w =. dt... dti
S.= f... dx't... dx'
f('-e1,..., x,_- e/,-, t,..., t', 2-k-1