Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

REDUCTION CONTINUELLE ET THEOREMES DE MIINKOWSKI. III
que nous appellerons pour abreger rF(E), F-(E),..., rP(E); les
points E sont les memes que precedemmenL (coordonnees relatives
au plus egales a o). A part les premiers, on ne pent plus affirmer
qu'ils n'empietent pas, on est meme sir du contraire si n., > Im.
Quoi qu'il en soit les points interieurs a ces corps constituent respectivement des domaines limites %,, 0Q,...,, dont les volumes
V1, V2,.., C, sont bien definis ('). Nous avons vu que
on peut encore affirmer en raisonnant comme precedemment que
^, | (U ) (2+2 1')", s = __-.
Nous allons alors etablir des inegalites pour les rapports de deux V
consecutifs. Nous pouvons pour cela faire un changement de coordonnees, car il a pour effet de multiplier ces volumes v par une
meme quantile (ddterminant du tableau), et par suite, ne change
pas leurs rapports mutuels. Dans ce qui va suivre nous supposerons
1'espace rapporte au tableau reduit U, nous appellerons encore x,,
x2,..., xL les coordonnees relatives d'un point quelconque et v
les volumes des domaines Qi. Le sous-espace ddfini par les k premieres lignes de U est le m'me que celui defini par les k premieres
lignes de V, de sorte que la condition pour un point de n'etre pas
dans oAjA2...A/, peut s'exprimer en disant que les n A- dernieres coordonnees ne sont pas nulles simultandment. On deduit
alors des conditions (i) qu'on ine peut avoir
S(OA) < nz.
que si les n - k + i dernieres coordonnees de A sont nulles, cette
condition n6cessaire n'etant pas, bien entendu, suffisante; en
raisonnant comme pour le premier theoreme, on voit que deux
corps r (A), I'(A'), ne peuvent elnpieter que si les n-/f-+ i dernieres coordonnees de A et A/ sont les memes.
Repartissons les corps de QAk en (2o +- i)i-A+ groupes de
(2t0 — l)'I-' corps, dans chaque groupe les centres des corps ayant

(1) On ne compte, bien entendu, qu'une fois les parties communes a deux ou
plusieurs corps qui empietent.