Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

RIDUCTION CONTINUELLE ET THEIOREMES DE MINKOWSKI.

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entraineraient
S (AA') < S(A.1) +i S(A'l) < n,
ce qui exigerait que A et A/ soient confondus (1). Considerons
alors tous les points E du module qui, par rapport a T, ont pour
coordonnees relatives des nombres entiers ej, au plus egaux, en
valeur absolue, un entier donne w; ily a (2 o) + i)" pareils points;
appelons Q le domaine forme par les corps F attaches a chacun de
ces points. Le volume de ce domaine est egal, puisque les corps
n'empietent pas, a (2o -- 1)'2 fois le volume de l'un d'eux qui est
(-) J, J etant le volume du corps caracteristique Fr (o).
Ceci pose, cherchons a constituer un domaine qui contienne Q
et dont on puisse determiner le volume. Appelons yi les coordonnees relatives par rapport a T et soit ~ une limite superieure
des j yi pour les points de F, (o). Tout point de Q verifie alors l'un
des systemes d'egalites
( yi y-e 1 -, Y e, 2 -e 1 ) C,
donc, afortiori,
(lY, IYa, 1, Y. I Y)j) -4- s.
Mais ces dernieres egalites definissent un domaine limite (corps
caracteristique d'une spanne) qui contient 0. Le volume de ce
nouveau domaine est
j. dXl dx2.. dxn- I A(T) | d. jyl dyS *.. dy,
A= I(T) I fdy, dy...J dyn
I A(T) (21C) + 2)'".
Ce volume devant etre superieur ou egal a celui de Q, on a
( 92 + 1 ) ) J (I(T) (2 w4 + 2 )1,, K 2"f A(T) I (2w.~+2~)'i
OU

(1) II peut y avoir des points communs aux frontieres, car S(AA') = n a des
solutions.