Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

REDUCTION CONTINUELLE ET TIIHORIEMES DE MINKOWSKI.

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de rang p, de sorte qu'en supposant meme s o et p = z, on
n'est pas certain en general qu'une telle matrice constitue un
tableau du module. On peut tourner la difficulte en considerant la
spanne a p parametres (4); on y remplace les parametres par
chaque systeme de valeurs critiques, et pour chaque distance
generalisee ainsi obtenue on cherche le ou les tableaux minima
(conditions r, 2 et 2 bis) et les tableaux reduits correspondants;
les premiers tableaux contiendront d'ailleurs plusieurs des minima
simu [tanes (exactement k si l'oi peut en trouver k et pas plus formant une matrice de rang k). L'ensemble ainsi obtenu se trouve
ordonne; a chaque point critique de A correspond un nombre fini
de tableaux de l'ensemble; les points ayant une disposition determinee on pent considerer que cette disposition constitue un classement de ces tableaux.
Cet ensemble est bien reduit; etant defini a partir du module;,
il est inddpendant de la base choisie. D'autre part, si l'on remplace T par T' TE, on remplace les valeurs absolues I I par
/'[ li o, les r etant les valeurs absolues des termes de E. Donc, au
lieu de faire les operations sur le nouveau module c', on peut les
faire sur i'ancien en prenant )por spanne a p parametres, la
fonction
maximum(Xki,'18 |,.. XI) 7p \ 8 |),
on obtient les omemes systemes de minima simutltanes (a la dilatation pres) et les memes tableaux reduits. Seuls les systemes critiques sont changes et remplaces par
7'i i 7...i ~
12'' p7. ( ) I
La disposition des points critiques correspondants dans le sousespace n'etant pas changee de ce fait, on peut dire que le classement de l'ensemble relduit est encore le meme. I1 y a l meme restriction de signe a faire clue pour le cas du deusxieme ordre si
la premiere colonne est reelle.
Les deux theoremes de Minkowski.
Pour completer la meothode precedente de rcluction, il serait
bon d'avoir des conditions necessaires et suffisantes qui per