Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE VI.

Pour cela, consideronsp points de c, le k.ielc k.i etant tel que les
valeurs absolues de ses coordonnees, sauf la kAl'e, soient inferieures
aux valeurs absolues des coordonnees correspondantes de A. Mais
alors pour clue S(oA) soit inferieur a S(oB,), il faut clue cette derniere spanne soit de rang i, c'est-a-dire que
IX~oi 'l k2~'1', I > I2'I i,> X310( )I ~|(|~[1 [
et de meime pour B2, B2,.... (es p systemes d'inegalites fournissent
des limites superieures et inferieures, par exemple, pour les rapports -, ce qui, en ayant egard a (4 bis), montre bien que l'ensemble correspondant dans A est borne. D'autre part, ces divers
domaines qui peuvent avoir des points communs doivent couvrir (') tout le sous-espace A puisqu'a tout systeme de parametres
correspond au moins un minimum. Done, si p> I ii y a une
infinite d'ensembles, done de minima, done de systemes de minima
simultanes (de chaque minimum on peut deduire un tel systeme).
Utilisons encore cette representation geometrique pour montrer
que les systemes critiques sont isoles (leur7 ensemble n'a pcs de
point limite). II suffit de montrer que dans tout domaine I borne
de A n'existe qu'uli nombre fini de points critiques. Nous y arriverons en suivant une marclie analogue a celle du deuxieme ordre.
Dlterminons un point D, tel que, pour tout systeme de parametres
contenus dans I, la spanne S(OD,) soit de rang i, il suffit pour cela
de prendre 182,.., [I I suffisammnent petits; dlterminons de
meme D,)..., Dp tels cque, dcans 1,
S(oD,) = Xi '"' S(OD2) -- 21~2 1, S,(ODOl 'I) I8H 1.
slooD O ^ ii ('', -soD = |,.' I, S(oD,,) = X,|1 a? |i.
Mais alors pour que la spanne d'un point de ( soit minimum pour
nn systeme de parametres dans I, il faut que
18 <l I, '1 l ' 1 < I8', 1 ~ I<l0,,, )
et il n'y a qu'un nombre fini de tels points.
Ensemble recluit. - Les p minima simultanes forment une
matrice de type (p, n) mais dont on ne peut affirmer qu'elle soit

(1) Les systemes critiques sont des points communs a p de ces ensembles.