Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

REDUCTION CONTINUELLE ET THEORiEMES DE MINKOWSKI.

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poser
I ~ ti t2.. t,- I
(4 bis) o
( '( 1)'(Xl)*( 2....I (Xp)' = ( OU 2).
Alors ap minima simultanes correspond un seul systeme critique
defini par l'equation precedente et
XI1 I 0(11) 1 = A 0...2) I 0(P) I
Mais reciproquement a chaque systeme critique peut correspondre
plusieurs systenzes de minima, toutefois en nombre fini. On les
obtiendra tous en remplacant chacun des points Ak successivement
par chacun des points A. de ~ tels que S(OAk) soit egal a S(oAk) et
de mnme rang. On obtient deja ainsi les 2P systemes
~ A, - A2,..., - Ap
mais on pent aussi en avoir d'autres, si certaines des coordonnees
sont imaginaires (nous en avons eu des exemples dans le cas du
deuxieme ordre imaginaire).
Pour montrer qu'il existe une infinite de systemes critiques nous
emploierons la representation geometrique suivante: a tout systeme de nombres positifs ),X verifiant la condition (4 bis), nous
ferons correspondre le point d'un espace a p dimensions
(pl, P2,., pp), Pi= logxi.
Tous ces points forment, si p> i, un sous-espace A de dimension p - et d'equation
(4 ter) ul ti l- t2 p0...2 - Up p= O.
Alors tout point A d'un tableau reduit est tel que S(oA) est minimum pour un point de A; considerons tous les points de A pour
lesquels S(oA) reste minimum. On pouvait verifier sans peine que
cet ensemble est un/ dcomaine cd'un seul tenant (') sans tro7zs,
et que sa frontielre est composee de portions de sous-espaces a
p- 2 dimensions, il nous suffira de demontrer qu'il est borne.

(1) Chacun de ces domaines se decompose en p domaines partiels a l'int6rieur
desquels la spanne a un rang determin6. Nous avons eu un exemple de tels domaines sur une droite (deuxieme ordre). Pour un exemple dans le plan, voir'
le Memoire cite.