Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

104 CHAPITRE VI.
sont respectivement de rang I, ),..., /c,
S(oA) -l o, S(oA1) -= 11| 0(1...,. S(OA,) 1- 1) 1,
S(OAI)= S(O2) =...= S(OA/,.) = n,
le systeme de parametres etant
11,.-.., ^, I/cl,..., 1,.
Remplacons dans le systeme 1,k+ par ),k+1 et faisons dicroitre Xk+\
d'une facon continue depuis la valeur 'I,+. Les k spannes precedenles restent egales 'a n, mais ne resteront pas indefiniment
minima. Soit, en effet, un point B de c dont les valeurs absolues
des coordonnees veirifient les p- inegalites
liji i < 7 [i= (I, 2,.., P), k-i-i excepte];
d'apres l'lypothese, il y a une infinite de tels points B. Pour ).a+i
suffisamment petit, on a aussi
)'i.+l I.+11 < m2 et S (OB) < 2.
Done, par raison de continuite, il existe une valeur I,+l de )k+l,
pour laquelle In cesse d'etre un minimum en etant egal a la
spanne d'au moins un autre point S(oAA~+^). Mais, quel que
soit ce point, cette spanne est de rang k + 1; en effet, dans la
variation, les spannes de rang different de k + i, qui etaient primitivement superieures a m, restent toujours superieures. Le raisonnement est valable pour k quelconque, on peut done le recommencer a partir du systeme de parametres
11, 12, *... 1+1, A.-+2l, 1A.+, p
et montrer l'existence d'un point Ak+a et d'un parametre 1,+a. Et
ainsi de suite jusqu'a obtenirp points et un systeme de parametres
correspondants.
Si l'on remplace ces p parametres par p autres proportionnels
(mais positifs), on multiplie les spannes par un meme facteur et
l'on ne change pas leurs rapl)orts mutuels, il leur correspond done
les memes points Ai jouissant des memes proprietes.
Un tel systeme de parametres sera dit un systeme critique et
les p points correspondants des minimna simultanes. Pour determiner completement les systemes critiques nous conviendrons de