Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

REDUCTION CONTINUELLE ET THEOREMES DE MINKOWSKI. 1 O
de ce point devient aussi egale a ) j 1 [, done inferieure a celle de A.
Donc, toujours pour raison de continuite, il existe une valeur.,
de X que nous appellerons critique, pour laquelle S(oA) cesse d'etre
minimum (') en etant egal a la spanne d'un autre point B(3, ['),
qui est de rang 2. Manifestement B n'est pas sur OA, il forme
donc, avec A comme premiere ligne, un tableau a determinant non
nul V, repondant a la question. On voit en meme temps que, pour
des valeurs de ) superieures a 11, S(oA) n'est plus minimum; pour
des valeurs inferieures a ),,, S(oA) est de rang 2, de sorte qu'on a
ainsi le seul tableau repondant a la question et dont A est premiere ligne. Si l'on fait croitre ), a partir de 1,, S(OB) est minimum, d'abord de rang 2, puis change de rang pour une certaine
valeur ),2 et cede la place a un point c pour une valeur 12; B et c
forment un nouveau tableau V2 repondant a la question pour cette
valeur 12, et ainsi de suite. De meme, en faisant decroilre )
a partir de )f, on aurait obtenu des valeurs L_, _2,... et des
tableaux V_, V_2,.... Par ce cheminement, obtient-on tous les
tableaux? II n'en existe pas pour des valeurs intercalaires des ), il
suffit de montrer que les li deviennent infiniment grands et les l_i
infiniment petits, ou encore qu'il n'y a qu'un nombre fini de
valeurs critiques dans tout intervalle I interieur a (o, oo). Soient
pour cela (e,, e'1), (e2, e') des points de c tels que l'intervalle
comprenne 1. Pour toute valeur de ), dans 1,
-( eI, e )= klJe|, f e2, e2 = Ie
Done tout point M tel que Sx(oM) soit minimum pour une valeur
de ), comprise dans 1 doit verifier
)mJ l1 <x eI.!
T'l < l eI lo'l <lef,
f |t | < f | 2 1 | '| < |e2!

(1) On aurait pu presenter cette demonstration un peu difefremment, de facon
a n'avoir pas a se servir de raisons de continuite. II m'a semb6l prdefrable de
conserver a peu pres la marche suivie par Hermite; elle a au moins cet avantage
de s'etendre plus ais6ment au cas general.