Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

REDUCTION CONTINUELLE ET TIIEOREMES DE MINKOWSKI. 99
elle remplace un point (5, ') par (~-),, ~), ' 1') et la spanne de
l'origine au point (L, f/) devient, puisqu'elle ne depend que des
valeurs absolues des coordonnees,
(3) f,<''), ') > o.
Donc, tout couple de points de c susceptibles de devenir, apres
une dilatation convenable, un tableau reduit, constitue au signe pres
un tableau reduit equivalent a T lorsqu'on remplace la spanne par
la spanne a deux parameatres, en donnant a ces parametres des
valeurs convenablenent choisies. Reciproquement tous les tableaux
reduits relativement a la fonction (3) oi' ),, ) sont des parametres
arbitraires, sont susceptibles de devenir des tableaux reduits apres
une dilatation conivenal:le. C'est le principe de la reduction continuelle d'Hermite (') (ainsi appele a cause de l'introduction
des parametres continus). Cherchons done 1ensemble des tableaux
reduits relativement i la fonction (3); a cbaque systeme de valeurs ), ), ne correspond qu'un seul tableau reduit, mais la reciploque n'est pas vraie.
Remarquons d'abord qu'on obtient le metme tableau reduit si
l'on remplace X, /, par t), t', car cette operation multiplie les
spannes de tous les points (2) par t et ne change pas leurs rapports
mutuels. On peut done se borner a considerer les systemes de
parametres dont le produit est egal a i, ou encore au lieu de la
fonction (3) la fonction
(3 bis) f, ) = (o)
Ceci convenu, on pett montrer, comme nous 1'indiquerons
ulterieurement, qu'il exisle une suite infinie dans les deux sens
d'intervalles pavant (o, oo),
o <. '-2 X- _, < X... -i 2- <+^ lim i. )
tels que dans chaque intervalle existe un seul tableau reduit. On
obtient par le fait une suite de tableaux reduits ordonnee et illimitee dans les deux sens.

(') II emplovait toutefois pour f au lieu de la spanne la distance ordinaire.
(2) Ou encore, revient a faire sur G une homothletie.