Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE VI.

ces formes sont equivalentes a f, on peut done les considerer
comme reduites. Elles verifient d'ailleurs les conditions donnees par Gauss pour definir laforme reduite d'un systeme
C>A1|2B|,
et pour l'ne d'elles le coefficient du t erme rectangle est positif.
La premiere de ces conditions, qui pelt s'ecrire
a + -i- a2 a + a'2,
exprime en effet que A2 n'est pas plus rapproche de l'origine
que A,. La seconde pent s'ecrire
a -4- a'2 -+ 2 (al a2 -- at a' a) - - a'2< a 2+ a a '
et exprime que l'un des points A2 + A, n'est pas plus rapproche
que A2. Les trois cas d'ambigti'te correspondent respectivement
aux cas limites des conditions de Gauss
C>A= 2BI, CG=A> B, C =A= - BI.
II peut etre interessant de remarquer que la consideration de la
forme quadralique associee permet de classer les tableaux reduits V
en deux ensembles, suivant que le coefficient du terme rectangle
est positif ou negatif. On aurait pu arriver au meme resultat en
etudiant des classes (equivalence propre) au lieu de systemes de
tableaux.
Tableaux reels. -- Passons maintenant au cas d'un tableau du
dcuxieime ordre a termes reels,
a af
T 1 cc II
b b' '
et soit (s, t') un point du module; ayant T pour base. Supposons,
a a.
pour simplifier, b et bT irrationnels; il n'y a qu'un seul tableau
minimum verifiant les conditions (i) (2) et (2 bis); il est done
reduit. En outre, il existe une infinite; de points de C verifiant les
inegalites (Chap. II, Modules finis),
> M > o, I 1 <S.
Effecluons sur T la dilatation definie par
E = [ -+ ), -- )'], (,,,') > o;