Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE VI.

Un procede inmmediat pour avoir un tel ensemble reduit est de
prendre tous les tableaux U equivalents 'a T tels que, pour une
certaine dilatation E, le tableau UE equivalent a TE soit reduit
au sens indique precedemment. En effet, si ion remplace T
par TE, le tableau UE, est encore susceptible de devenir reduit
pour la dilatation EE-1 et reciproquement; l'ensemble correspondant a TE, se deduit donc de l'ensemnble correspondant a T
par la dilatation E. II est necessaire en outre de montrer que
l'ensemble ainsi defini est susceptible d'etre ordonne et que ce
rangement ne change pas si I'on fait une dilatation sur T. Avant
d'aborder I'etude de tels ensembles dans le cas general examinons
le cas particulier des tableaux du deuxieme ordre.
Cas imaginaire. - Soit d'abord T forme de deux colonnes
imaginaires conjuguees
T a - ia' a-ia' |j
b- b-ib' b- ib'
et soit ([ + il', E - i') un point du module 6 ayant T pour base.
Pour avoir une representation reelle associons 'a I le module G'
(reseau de parallelogrammes) forme par les points M'(, /').
La spanne S(oM) -= + i' est egale a la vraie distance OM';
son corps caracteristique etant convexe, les tableaux minima V
sont aussi reduits. Pour les trouver, il nous faut donc chercher
dans ' les couples de points A', A,' tels qu'aucun point de r' ne
soit plus rapproche de o que A' et qu'aucun point, exception
faite de ceux de la droite OA', ne soit plus rapproche de o que A2.
Si l'on remplace T par T x E
E = [a t, a-, c - i 4], C i = i /O2 4- 32(cos cp - i sin cp),
ceci a pour effet de multiplier l'imaginaire +- iS' par l'imaginaire
fixe a. - ip, c'est-a-dire revient a faire surles points de ~' une meme
rotation d'angle cp suivie d'une homothetie de rapport V/a2- '2.
Cette operation ne change donc pas les rapports mutuels des distances oMv' de sorte que les transformes des points A', A' jouissent
de la meme propriete dans le nouveau module. Donc les nouveaux
reduits sont V x E et l'ensenzble des tableaux susceptibles de
devenir reduits apres une dilatation est identique a I'ensemble
des tableaux reduits pour un T determine.