Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

94 CHAPITRE VI.
qui est encore une base de.. On a
A' = a AiA, S(oA') = a S(OAl).
Comme S(oA,) est un minimum, il est impossible que a. soit inferieur ai et A,' est identique a A1. On a ensuite
A' = bl AI- - 2z A2, S(OA', ) < I bl I S(OAi) +- b2 S(OA-.) < (| bl | + b2) S(oA2),
or [ b I est au plus egal a -T b est done au moins gal 'a, sinon
2 2
S(oA2) serait inferieur a S(oA2). Comme b2 est l'inverse d'un
nombre entier, il est egal, soit a i et alors V est une base; soit a
il en est alors de meme de j b, ] [sinon S(oA') < S(oA2)], et
S(OA )- S(oA2). I1 en resulte que Si x V qui est une base est un
tableau minimum. Ce second cas ne se presentera pas si l'une des
inegalites conditionnelles precedentes devient une veritable inegalite, ceci se passe notamnient pour une distance generalisee dont
le corps caracteristique est partolut convexe; il ne se presentera
pas non plus si l'on sait a l'avance qu'il n'y a qu'un seul tableau
minimum (').
Dans ce que nous avons dit jusque maintenant, nous n'avons
pas specifie la distance generalisee choisie. En adoptant par exemple
la spanne a r +- s parametres pour des valeurs determinees des ),, u.,
S(oMi) = maximum (),i] i 1, [J.j j I),
on peut chercher a diminuer le nombre de tableaux reduits; il
suffit d'ajouter des conditions supplementaires pour la definition
des tableaux V. Remarquons d'abord que chaque point Ai d'un tel
tableau V peut etre remplace par son symetrique par rapport
a l'origine, -Ai; nous pouvons faire un choix entre les deux points,
en convenant par exemple de ne considerer que celui donL la premiere coordonnee est positive (2), si elle est reelle et non nulle. It
peut encore se faire qu'il y ait indecision dans l'ordre des lignes
(1) On peut remarquer que le raisonnement pr6ecdent s'appliquerait encore,
dans le cas du nzie ordre, au mineur forme par les deux premieres lignes et
colonnes de S.
(2) On pourrait faire un choix analogue, si elle etait imaginaire, en considerant
sa partie r6elle mais nous verrons que cela aurait moins d'interet au point de
vue of0 nous aurons a nous placer dans la suite.