Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

92

CHAPITRE VI.

de chercher si les ensembles ainsi obtenus sont identiques ou non,
(on voit pour cela la necessite de bien ordonner ces ensembles).
D'autre part, soit a trouver tons les systemes verifiant certaines
conditions, se traduisant par une meme condition pour les tableaux
(par exemple un determinan t donne), il suffira de chercher tous
les tableaux reduits v6rifiant cette condition.
Supposons d'abord que chaque systeme envisage soit defini par
un de ses tableaux T d'ordre n. On peut considerer le systeme
defini parT comme constitue par l'ensemble des bases d'un module
type G de points. Tout revient alors a chercher une base ou
encore un tableau remarquable de c, car en suivant la marche
donnee dans la demonstration du theoreme fondamental, on peut
deduire d'un tel tableau une base et meme une seule base. Une
intuition simple peut conduire a la definition d'un tel tableau:
pour l'espace 'a une dimension la question ne se pose pas, pour
le plan (reel) un tableau, a I'ordre pres des lignes, definit un
triangle oAA2 et reciproquement en adoptant un ordre pour les
c6ots. On aura un tableau remarquable, ou au plus un nombre fini,
en cherchant celui ou ceux de ces triangles dont les cotes issus
de o sont les plus petits possibles et en adoptant pour ordre des
c6tes lordre de grandeur. De meme pour l'espace (reel) on peut
prendre le tetraedre OAI A2A3 qui a les plus petits c6tes, et ainsi de
suite, on etend sans difficulte aux espaces a n dimensions reels ou
semi-reels.
Traduisons en langage algebrique; pour comparer les c6tes
adoptons pour expression de la distance une distance generalisee
quelconque, soit S(oM). Ceci convenu on peut enoncer le resultat
prevu geometriquement:
Dans tout module type de dimension n, il existe toujours un
nombre fini (znon nul) de tableaux V, A(V) f o, formes de
points Al, A2, A3,..., Al tels que
S(OA)_S(oA1) (A quelconque de C),
S(OA) S(OA2) (A de C et non de OA1),
S(OA) S(OA3) (A de G et non de OA1A2),.........en particulier.......................
en particulier

(I bis)

S(OA1) S(OA2)... S(OAn);