Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

90 CHAPITRE V. - L'ARITHMETIQUE DES ENTIERS D'UN CORPS.
exemple pour OIL, si O1lt-', -OTIa- 1,... n'etaient pas premiers,
ils auraient un diviseur c et OLt1-' serait un ideal multiple
commun de.,), 1i,..., puisque (DaL^-1)'-1, (OlC-1')>Ib-,...
seraient des ideaux entiers; reciproquement tout multiple commun
autre que le plus petit est de la forme T'1tl et ses quotients par
JL, lLb,... admettent c pour commun diviseur, et ne sont pas premiers. La meme demonstration s'etend a CD; la propriete a une
plus grande importance que pour les entiers rationnels, la notion
de quotient etant cette fois posterieure a celle de divisibilite, et
c'est du theoreme precedent qu'on deduit
X p. g. c. d. (o, Lb,...)= p. g. c. d. (%c, @, p...),
x. p.m. c.(A, A1,...)= p. p.m. c.(, (L2, I...).
Les consequences sont ensuite les memes que pour les nombres
rationnels et je renvoie au Chapitre 1II pour quelques-unes
d'entre elles, aux traites elementaires d'arithmetique ou de theorie
des nombres pour les autres.
Les proprietes et demonstrations speciales (4) a la divisibilite
des nombres se transportent ainsi aux ideaux: diverses expressions d'un ideal fractionnaire comme quotient d'iddaux entiers,
ideaux premiers,.... En particuler un ideal entier est deconposable d'une seule facon en tn produit d'ideaux premiers.
(t) II y a exception toutefois pour l'existence d'une infinite d'id6aux premiers,
il faut alors modifier la demonstration habituelle; il en est de m6me pour toutes
les proprietes ou intervient la notion de somme de nombres (pat exemple les
congruences et le th6or6me de Fermat), cette notion ne se transportant pas aux
ideaux (voir la Note III).