Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE V.

ciative et commutative
(Jib) 0 )== - ( JWC~), = I)b- S.,)
le produit d'un ideal a =(a, F,...) par- un ideal principal [c],
(qu'on note quelquefois o.L) est ((t, o3,...) et est forme des produits par o des nombres de oL; en particulier le produit de deux
ideaux principaux [a], [3] est l'ideal principal [ac3]. L'ideal [I]
verifie l'equation
&~.i - c= &.
Nous allons montrer que c'est le seul et etablir en meme temps la
possibilite et l'unicite de l'operation inverse de la multiplication.
II nous suffira pour cela d'etablir l'existence d'un et un seul
ideal — 1, inverse d'un idecal donne,, c'est-a-dire tel qle
&^-1 = [1].
Supposons & defini par les nombres a,,... de K et considerons la forme qui sera dite contenant l'ideal
((xy,...) - ax - Py+ —...,
et les n formes (p, 2 *., Oz, dont l'une est identique a p, obtenues en remplacant a,,... par leur conjugues. Leur produit,
qui, par analogie avec le cas d'un nombre du corps, pett s'appeler
la norme de la forme c
N(qp) = (x, y,...) =?pi?...t,t,
est un polynome de degre n a coefficients rationnels; appelons -
q
le plus grand commun diviseur de ces coefficients; (4- q p est
un polynome primaire, il est divisible par c et le quotient j de
degre n - i a ses coefficients dans K puisqu'ils se deduisent par
des operations rationnelles de ceux de 4) et de?: ces coefficients
cr., f',... definissent un ideal J-L' qui repond precisement a la
question. En effet
-= (~aa', ap', p',...);
or d'apres le theoreme de Kronecker applique a 4), qui est a
coefficients entiers rationnels, tous les produits de la parenthese
sont des entiers complexes, done cJ-1 est un ideal entier;