Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

L'ARITHMETIQUE DES ENTIERS D'UN CORPS. 87
la base relative R definie a une equivalence pres etant cette fois
a termes rationnels, non necessairement entiers. La propriete
caracteristique de la base relative subsiste, de meme que la condition pour que l'ideal fractionnaire soit principal, c'est-a-dire
identique a l'ensemble des multiples d'un nombre de K. II en
est de meme de la definition de la divisibilite et des proprietes du
plus grand commun diviseur et du plus petit multiple commun de
plusieurs ideaux fractionnaires, mais il ne suffit plus qu'un ideal
contienne une unite pour etre confondu avec [i], on peut affirmer
alors seulement qu'il contient tons les entiers du corps et que sa
base relative est l'inverse d'un tableau a termes entiers (').
Decomposition des ideaux en facteurs.
On petit pousser plus loin l'analogie de l'arithmetique des
ideaux d'un corps avec I'arithmetique des nombres ordinaires, en
montrant la possibilite de decompositions en facteurs. I1 est necessaire pour cela de definir la multiplication des ideaux: etan
donnes deux ideaux & et VIb (entiers ou fractionnaires) on
appelle produtit &\i\e l'ideal dlfini par tous les produits des
termes de &, par les termes de Ib.
Pour definir lib il suffit evidemment de considerer le produit
de chaque element d'un systeme d'dlements en nombre fini a.,,...
definissant &L (par exemple les n nombres d'une base) par chaque
element d'un systeme a', [',.. definissant tb; car le produit d'un
nombre quelconque de i par un nombre quelconque de I'
( xx +7 y+-...) (' a' y- p'- t...)
est compris a fortiori dans la formule
x" ax' - y" x' -- z P'/ -...
Done J el', defini par un nombre fini d'elements est bien un ideal
(ceci pour le cas de &uIb fractionnaire).
La multiplication des ideaux est manifestement univoque, asso(1) Un tel ideal est en cffet un diviseur de l'ideal [i] et sa base relative R devant diviser le systeme simple [i], R-~ est a termes entiers.