Leçons sur la théorie des nombres (Modules. Entiers algébriques. Réduction continuelle.) par A. Châtelet.

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CHAPITRE V.

ces entiers forment un ideal 01, la difference de deux d'entre eux,
ou le produit de l'un par un entier du corps etant encore un entier
commun a 9 & l, i,.... Cet ideal OIL joue le role de plus petit multiple commun, car tout ideal DLJ' multiple commun de A, l,,.J.,
ayant ses entiers inclus a la fois dans J, i,..., les a aussi inclus
dans IL., c'est dire que 01~' est multiple de 31i; reciproquement,
ODL' multiple de 01t l'est aussi de ses diviseurs J&, )L,.... Considerons encore l'ideal CD defini par les entiers des bases de A, a',...,
cet ideal, qui peut etre [i] joue le role de plus grand commun
diviseur. En effet, tout diviseur commun de 9j, lib,... contenant
les entiers de ces ideaux contient les entiers de (D, et est un diviseur de (D; la reciproque est evidente. Si le plus grand commun
diviseur est [i] ont dit encore que les ileaux sont premiers dans
leutr ensemble, Us n'ont aucun diviseur comm.un sauf [I].
Nous avons vu au Chapitre III que certaines notions de divisibilite peuvent s'teendre aux fractions. II en est de meme pour les
corps algebriques et l'on peut dans l'ensemble (i) remplacer
les entiers c,, r,... (supposes toutefois en nombre fini) par des
nombres du corps quelconques
ca P /(c,,... entiers de K x
ba b ' a, ab,... entiers rationnels7'
les x restant toujours des entiers arbitraires de K. Nous appellerons un tel ensemble ideal Jf'actionnaire; il verifie encore
les proprietes I et II. Ses termes r - = sont des quotients d'entiers
complexes o du corps par des entiers rationnels d, limites superieurement en valeur absolue (au plus egaux au plus petit multiple commun de 'a l I bl). I en resulte que les points correspondants (iM,...,,,) forment encore un module type: les
inegalites ji| < ~ entrainent, puisque les d sont limites, une
limitation superieure pour les fonctions sylnetriques elementaires
des o, fonctions qui sont des entiers rationnels; il n'y a done
qu'un nombre fini de solutions. Le meme raisonnement que pour
les ideaux ordinaires montre que ce module est de dimension n
et tous ses points sont encore donnes par
II m I.. I= 1... x, 1 x RT (x entiers rationnels),