Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

6 N. J. Lobatschefskij.
die gegebene Gerade nothwendig schneiden missen.2) Man
versteht unter dem Namen: zu einer andern gegebenen Geraden
parallele Gerade eine Gerade, die, wie weit man sie auch nach
beiden Seiten verlängern möge, niemals diejenige schfieidet,
zu welcher sie parallel ist. Diese Erklärung ist an unld fir
sich ungenügend, denn sie kennzeichnet nicht genug eine
einzige gerade Linie. Dasselbe kann man sagen von den
meisten Erklärungen, welche gewöhnlich in den Anfangsgründen
der Geometrie gegeben werden, denn diese Erklärungen zeigen
nicht nnr nicht die Entstehung derjenigen Grössen an, wellhe
man erklärt, sondern sie zeigen auch nicht einmal, dass diese
Grössen bestehen können. So erklärt man die gerade Linie
und die Ebene durch eine ihrer Eigenschaften, man sagt, dass
die geraden Linien diejenigen sind, welche völlig zusammenfallen, wenn sie zwei Punkte gemein haben, dass eine Ebene
eine Fläche ist, [618] mit der eine gerade Linie immer zusammenfällt, sobald die Gerade zwei Punkte mit ihr gemein hat.
~ 2. Neue Begriindung der Parallelenthleorie.
[Gerade.] Statt die Geometrie mit der Ebene und der geraden Linie zu beginnen, wie man es gewöhnlich macht, habe
ich es vorgezogen, sie mit der Kugel und dem Kreis zu beginnen, deren Erklärungen nicht dem Tadel unterworfen sind,
unvollständig zu sein, weil sie die Entstehungsart der Grössent
enthalten, welche man erklärt.
[Ebene.] Darauf erkläre ich die Ebene als den geometrischen Ort der Schnitte gleicher Kugeln, die um zwei feste
Punkte als Mittelpunkte beschrieben sind. Endlich erkläre ich
die gerade Linie als den geometrischen Ort der Schnitte von
gleichen Kreisen, die alle in derselben Ebene gelegen und um
zwei feste Punkte dieser Ebene als Mittelpunkte beschrieben
sind. Nimmt man diese Erklärungen der Ebene und der geraden Linie an, dann kann die ganze Lehre von den Ebenen
und den Loten auseinandergesetzt und mit grosser Einfachheit
und Kiirze bewiesen werden.
[Parallelee.] Wenn eine Gerade und ein Punkt in einer
Ebene gegeben ist, nenne ich Parallele zur gegebenen Geraden, gezogen durch den gegebenen Punkt, die Grenzgerade
zwischen denjenigen unter den Geraden (die in derselben Ebene
durch denselben Punkt gezogen sind und auf der einen Seite
des von diesem Punkt auf die gegebene Gerade gefällten Lotes