Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Anmerkungen. 91
17) Zu S. 42. An Stelle dieser zweiten Formel steht bei
Lobatschefskij sowohl im russischen wie im französischen Text
der folgende Ausdruck
cosJl(q) == cosHT(dzx sinl(y).
18) Zu S. 48. Es ist nämlich bis auf Grössen zweiter
Ordnung nach dem soeben entwickelten Satze der Inhalt dJ
des Vierecks, das von den beiden Ordinaten y und y + dy,
dem Curvenelemente ds und dem Elemente dx der Abseissenaxe begrenzt ist:
d J - 27 - 3. ~- - p = i- - (p.
Dabei ist unter cp der Winkel zu verstehen, den das vom
ersten Punkte auf die Ordinate des zweiten Punktes gefällte
Lot mit der Ordinate des ersten Punktes einschliesst. Wendet
man nun hierauf die Formel (vgl. Zusatz) an:
coscp (= cotIH(y) cotH(dx),
so kommt bis auf Grössen zweiter Ordnung die zu beweisende
Formel
dJ = clx otlH(y).
Zusatz. Um die hier angewendete Formel zu beweisen,
die sich auf das Viereck mit drei rechten Winkeln bezieht,
missen wir auf die Formeln (25) und (26) (Seite 39) zurückgreifen. Danach wird in dem Viereck (Fig. 12)
1 cos (a) cos ( (x)
cos- == -
V l -+- tang)(p V'/osn(x) eos2~H(a) + sinIH(a)
cos 1(y) cos (x) cosH(y) cosH(x)
Zsin1(lx) l/ os' (xacos2I(y) 1 _ cos H(y) sin 1H(y) sin~'J(x)
sin V - (i21x) sin2 —(x)
also
cos ( = cot H (y) cot l (x).
Setzt man darin für x ein dx, so erhält man die angewendete
Formel.
19) Zu S. 48. Bei Lobctschlefskij steht sowohl im russischen
wie im französischen Texte hier sin2 " an Stelle von cos2 $.
20) Z-u S. 48. Um die Formeln zu bestätigen, hat man,
indem man
I7(y) = 1, 7(x)=,. (a) =