Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

88 Anmerkungen.
Dem Satze können wir, sobald die drei Geraden nicht in
einer Ebene liegen, auch folgende Fassung geben: Z wei
Parallelen sind in der dritten Geraden parallel, in
der zwei durch die beiden ersten Geraden gelegte
Ebenen einander schneiden.
Dieser Satz wird so bewiesen (vgl. Fig. 28): Es seien AA'
und BB' zwei parallele Gerade, CC' die Schnittlinie von zwei
Ebenen, die durch AA' und BB'
C' B' gehen, es sei ferner 4 CAA' =
A' ~f t AABB' -|- rt. CC' kann weder
AA' noch BB' treffen. Es sei endx-f |~ ~lich noch A, auf AA' so bestimmt,
dass 4 BAA - r7 ist. Jede GeA., \ ^ rade, die im Winkelraume A CA,
[ 4 \ - ~: ~ verläuft und von C ausgeht, muss
A \- 7 AA' nothwendig treffen; um zu zeigen,
dass eine im Winkelraume A, CC'
/ verlaufende, von C ausgehende Gec rade AA' trifft, legen wir durch diese
Fig. 28. Gerade (CX) und durch CB die
Ebene. Diese Ebene schneidet die
Ebene A'ABB' in einer Geraden BX, welche, im Winkelraume A,BB' verlaufend, AA' nothwendig in einem Punkte
X treffen muss, d. h. die im Winkelraume A1CC' verlaufende
Gerade trifft A1A' in einem Punkte X. Hiermit ist der Parallelismus von AA' und CC' bewiesen;- ebenso beweist man den
Parallelismus von BB' und CC'.
9) Zu, S. 9. Dieser Satz, nämlich dass die Summe der
Kantenwinkel eines Par-;'^ aialleldreikants gleich r ist,
~/,/< ) wird in folgender Weise bewiesen:
Es seien ABC drei Punkte
= / 1 \B'aA auf den drei Parallelen. Durch
/' \ i \ ~einen Punkt B' von BB' und
l/ fp-^BZ, durch die Gerade A C legen, / ----, B-/ j,B wir die Ebene, und construiren
~'< /\ / ~ sodann um A, C und B' als
Mittelpunkte Kugeln vom Halbs messer 1, deren Schnittpunkte
c mit den in der Figur (vgl.
Fig. 29. Fig. 29) vorkommenden Gera