Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Anmerkungen. 87
GautssWerke VIII, S. 202-208), wenn 4B'BA- 4A'AB,
so bekommen wir den Satz:
Die Schnittpunkte des Grenzkreises, dessen
Scheitel A und dessen Axe AA' ist, mit den Parallelen zur Axe sind die dem Punkte A correspondirenden Punkte auf diesen Parallelen.
Der zu beweisende Satz aber erhält folgende Fassung:
Sind A und B zwei einander correspondirende
Punkte auf den Parallelen AA' und BB', und ebenso
A und C auf AA' und CC', so sind auch B und C
einander correspondirende Punkte auf den Parallelen
BB' und CC'.
Beweis: Weil AB und A C zwei Paare einander correspondirender Punkte sind, ist das Mittellot auf AB ebenso
wie das Mittellot auf A C parallel zu AA', BB' und CC',
also muss auch, nach dem Satze von den Mittelloten, das
Mittellot auf B parallel sein zu diesen Geraden. (Vgl. auch
die nächste Anmerkung.) Hieraus folgt aber, dass 4 B B 'B
-= 4 C'B; d. h. es sind B und C einander correspondirende
Punkte auf den beiden Parallelen BB' und CC', w. z. b. w.
[Vgl. hierzu ~Neue Anfangsgründe~ ~ 110-112].
8) Zu S. 9. Beim Beweis dieses Satzes vom gegenseitigen
Parallelismus dreier Geraden, der z. B. in der vorigen Anmerkung gebraucht worden ist, hat man verschiedene Fälle
zu unterscheiden:
1) Die drei Geraden ligen in einer Ebene; ferner möge
A1A' I CC' und BB' II CC' sein, und es mögen die Geraden,
die in der Figur (Fig. 27) gegebene
Reihenfolge haben; es sei ferner die A
Gerade ABC CC'. Eine Gerade
AD (ausserhalb AA') kann dann BB' B ~
nicht treffen; denn BB' schneidet AA' A '
nicht, weil man sonst durch diesen
Schnittpunkt zwei Parallelen zur Ge- c c'
raden CG' hätte. Jede Gerade aber,
welche innerhalb AA' verläuft von Fig. 27.
A aus (z. B. AE), muss BB' schneiden, denn BB' schneidet das Dreieck ACE im Punkte B,
muss also aus diesem Dreieck wieder austreten, und der Austrittspunkt kann nur auf der Geraden A E liegen. Wenn
AA' 1[ BB' und BB' 1 CC' vorausgesetzt ist, ändert sich der
Beweis ein wenig.