Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

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Pangeometrie.
Von
N. J. Lobatschefskij.
~ 1. Die ungeniügende Begrüindunlg (ler gewöhnlichen
Parallelentheorie.
[617] Die Begriffe, auf welche man die elementare Geometrie begriindet, sind nicht genigend, um daraus einen Beweis
des Satzes abzuleiten, dass die Summe der drei Winkel eines
jeden geradlinigen Dreiecks zwei rechten Winkeln gleich ist,
ein Satz, an dessen Wahrheit bisher niemand gezweifelt hat,
weil man keinem Widerspruch in den Folgerungen begegnet,
die man daraus abgeleitet hat, und weil die directen Messungen
der Winkel der geradlinigen Dreiecke innerhalb der Fehlergrenzen der vollkommensten Beobachtungen mit diesem Satze
übereinstimmen. 1)
Die Unzulänglichkeit der Grundbegriffe für den Beweis
dieses Satzes hat die Geometer gezwungen, ausdrücklich oder
versteckt Hülfsannahmen zuzulassen, die, wie einfach sie auch
scheinen mögen, nichtsdestoweniger willkürlich und daher unzulässig sind. So nimmt man z. B. an, dass ein Kreis mit
unendlich grossem Halbmesser in eine gerade Linie iibergeht
und eine Kugel mit unendlich grossem Halbmesser in eine
Ebene, dass die Winkel jedes geradlinigen Dreiecks nur vom
Verhältniss der Seiten abhängen und nicht von den Seiten
selbst, oder endlich, wie das gewöhnlich in den Anfangsgründen
der Geometrie geschieht, dass man durch einen gegebenen
Punkt der Ebene nur eine einzige parallele Gerade zu einer
andern in der Ebene gegebenen Geraden ziehen kann, während
alle andern Geraden, die durch denselben Punkt und in derselben Ebene gezogen sind, wenn sie genügend verlängert sind,