Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

86 Anmerkungen.
(auf g# gelegen) das Lot EP auf gc gefällt,: ferner die Geraden
EE" 1[ PC und EE' 1] PD gezogen; die beide nothwendig
zwischen g, und g2 liegen müssen; endlich seien noch die Geraden BB' I g, und 1I EE', und AA" 1\ EE" und I g, gezogen.
Die Mitte zwischen den beiden Fusspunkten A und B, nämlich
der Punkt F1 ist dann der eine Fusspunkt des gemeinsamen
Lotes. Man kann nämlich leicht beweisen, dass das von F~
aus auf g, gefällte Lot FF2 auch auf g, senkrecht steht.
Es sei noch F, F''(A A"' 1 PC) und 1 F,( BB' 11 PD) gezogen,
so ist
4 AFiF'1 =F 4 BFj = Ii(AjAF)
und
F,F F7 = 4 F,f[IJ H(F, F,)2
also
4 AF1F = BF F=7, = - u;.
Hiermit ist unter der Voraussetzung, dass es zu jedem
spitzen Winkel a eine Strecke a (a = H(a)) giebt, der Satz
vom gemeinsamen Lot bewiesen.
3) Wenn zwei von den Mittelloten der Seiten eines
Dreiecks einander parallel sind, so ist auch das dritte
zu diesen beiden parallel.
Beweis: Ist etwa DD' 1i FF' (Fig. 24), so kannE EE' keines
der beiden Lote DD' und FF' schneiden (nach 1), es können
aber weder EE' und DD' noch EE' und FF' ein gemeinsames Lot haben (nach 2, Zusatz 1); also missen alle drei
Mittellote einander parallel sein.
Durch Anwendung dieses dritten Satzes gelingt es nun
leicht, zu beweisen, dass alle Geraden parallel zur Axe des
Grenzkreises als Axen dienen können.
6' (Fig. 26.) Um ihn zu beweisen, wollen wir
ihm eine etwas andere Fassung geben.
1?;co Es sei AA' die Axe des Grenzkreises,
l -B BB' eine Parallele, CC' ebenfalls; die
Punkte B und C, in denen der GrenzA ^A' kreis diese Parallelen trifft, sind dadurch
Fig. 26. eindeutig bestimmt, dass 41 B'BA =
4 A' AB und 4 C'CA = 4 A'A C ist.
Nennen wir nun zwei Punkte B und A auf zwei Parallelen
BB' und AA' einander correspondirend (nach GacMss, vgi.