Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Anmerkungen. 85
Hülfssätze über die Mittellote der Seiten eines
Dreiecks.
Dieselben lauten:
1) Treffen sich zwei von den Mittelloten der
Seiten eines Dreiecks in einem Punkte, so geht
auch das dritte durch diesen Punkt. (Beweis elementar,
durch Congruenzsätze.)
2) Wenn zwei von den Mittelloten der Seiten
eines Dreiecks sich nicht schneiden, dann schneidet
auch das dritte keines der beiden ersten. (Dies folgt
aus 1.)
Zusatz 1: Haben zwei von den Mittelloten der
Seiten eines Dreiecks ein gemeinsames Lot (vgl. Zusatz 2), so haben alle drei ein gemeinsames Lot.
Beweis: Haben (Fig. 24)
etwa die Mittellote der Seiten 4' ' C' D' ' B'
CB und AB das gemeinsame
Lot D'F', so fälle man von
A, B und C aus die Lote AA',
B B' und C C' auf dieses ge- \
meinsame Lot; es bestehen \ I
dann die folgenden Congruenzen\ /
CDD' C' BDID'B'
A FF'A' - BFF'B'. c
Fig. 24.
Fällt man nun noch von E
(der Mitte von AC) aus das Lot EE' auf die Gerade A' C'F'D'B',
so ist noch
AA'E'E C GC'E'E,
und daher
4 E'E A -= - E'EC G-=,7 w. z. b. w.
Zusatz 2: Zwei
gerade Linien die A E
sich nicht schnei-
den und einander
nichtparallel sind,,,, E
haben ein gemein- A
sames Lot.
Beweis (Fig. 25): c- 92 F
Man denke sich von E Fig. 25.